M1-Econométrie CORRIGE EXAMEN ECONOMETRIE SUJET A Avril 2011 I EXERCICE-1 1. Un

M1-Econométrie CORRIGE EXAMEN ECONOMETRIE SUJET A Avril 2011 I EXERCICE-1 1. Un estimateur BLUE est un estimateur sans biais, de variance minimale et linéaire. Le théorème de Gauss-Markov nous assure que les estimateurs MCO sont BLUE. 2. ln Y = b a0 + b a1 ln X + " ln Y = a0 + a1 ln X donne en dérivant par rapport à X : Y 0 Y = a1 X soit a1 = XY 0 Y ; a1 représente l'élasticité de Y par rapport à X et b a1est l'estimateur de cette élasticité, il permet d'estimer en pourcentage la variation de Y suite à une augmentation de X de 1%. II EXERCICE-2 1. La calculatrice donne : 2. X Y MOY 2,75 0,49 V 1,85 0,19 σ 1,36 0,44 3. La calculatrice donne :  b a0 = 1:1496 b a1 = 0:2380 soit b Y = 1:1496 0:2380X . 4. e8 = y8 b y8 = 0:18 (1:1496 0:2380  3:29) = 0:186 6 . Les hypothèses de la MCO concernant le terme d'erreur : L'espérance de i; E ("i) est nulle pour tout i (E ("i=Xi) = 0) La variance V ("i) = E  ("i E ("i))2 est constante pour tout i; soit V ("i) = 2 ": Cette hypothèse de variance constante est l'hypothèse d'homoscédasticité ; on parle alors de série homoscédastique (par opposition à hétéroscédastique). Abscence d'autocorrélation des erreurs : Cov ("i; "j) = 0 pour i 6= j: Le terme d'erreur n'est pas autocorrélé : la valeur du terme d'erreur i n'est pas corrélé à celle de j: Chaque "i suit une loi normale, cette hypothèse étant justiée par le Théorème central limite, les "i résultant de l'inuence combinée d'un grand nombre de variables indépendantes non intégrées dans le modèle de régréssion. En conclusion : les erreurs suivent une loi normale : "i , ! N (0; ") et sont indépendantes Les erreurs sont normalement et indépendamment distribuées, on note : i , ! Nid (0; ") : 5. b a1 donne une estimation de la variation de Y suite à une augmentation d'une unité de X : si le taux de croissance du PIB augmente de 1 point, on peut estimer que la variation du taux de chômage baisse de 0:24 points. 6. On trouve R2 ' 0:5417; R2 = SCE SCT , il mesure le pourcentage de la variance expliquée par le modèle. 7. Estimation ponctuelle de la variation du taux de chômage : b Y (3:76) = 1:1496 0:2380  3:76 = 0:254 7 8. On doit calculer une estimation de l'écart-type de l'erreur de prévision Sf, déni par : S2 f = S2 " 0 B B B @1 + 1 n + (X0X) 2 i=n X i=1 x2 i 1 C C C A = 9: 9517  102  1 + 1 16 + (3:762:75)2 161:85  = 0:109 2 . On a calculé : S2 " = SCR n2 = SCT SCE n2 = (1R2)SCT n2 = (1R2)nV (Y ) n2 = (10:5417)160:19 14 = 9: 9517  102 soit S" ' p 9: 9517  102 ' 0:315 5 . On a donc : Sf ' p 0:109 2 ' 0:330 5 ce qui donne, sachant que f Sf suit une loi de Student avec un ddl de (n 2) ;donc ici de 14; pour un intervalle de conance à 95% : I = h b Y0 t =2;n2Sf ; b Y0 + t =2;n2Sf i soit ici : [0:2547 2:1448  0:330 5 ; 0:2547 + 2:1448  0:330 5 ] : soit approximativement : [0:454 2 ; 0:963 6] ; il y a 95% de chance pour que cet intervalle contienne Y0: 9. SCT = SCE + SCR ; donc SCR = SCT SCE = SCT R2 (SCT) = SCT 1 R2 = nV (y) 1 R2 = 16  0:19  (1 0:5417) = 1:39 10. On calcule l'erreur type de a1 ; on a : S2 b a1 = S2 " i=n X i=1 x2 i = SCR=(n2) nV (X) = 1:39=14 161:85 = 3:35103; ce qui donne : Sb a1 = p 3:35  103 = page 1 UFR14 2 CORRIGE EXAMEN ECONOMETRIE SUJET A 5:788  102 et tb a1 = b a1 Sb a1 = 0:2380 5:788102 = 4:11 Nous allons donc tester si X contribue à expliquer Y en testant l'hypothèse nulle a1 = 0 contre l'hypothèse alternative a1 6= 0 :  H0 : a1 = 0 (X n'inuence pas Y ) H1 : a1 6= 0 : Sous l'hypothèse H0; tb a1 = b a1 Sb a1 ; le ratio de Student, suit une distribution de Student avec (n 2) degrés de liberté ; ici tb a1 = 4:11 ; le seuil de signication est = 0:05 ; il reste à comparer ce quotient avec la valeur lue dans la table de Student, de t =2;n2 soit ici : t0:025 ; 14 = 2:14 ; jtb a1j > t =2;n2; on rejette H0; au seuil de 100 % ; b a1 sufsamment différent de zéro pour afrmer que a1 est signicativement différent de zéro. On en conclut que X est signicative et contribue à l'explication de Y: III EXERCICE-2 1. On a estimé b a1 ' 1:47 ; ce qui signie que si X augmente de 1 , c'est-à dire qu'une année d'étude supplémentaire entraine une augmentation du salaire horaire d'environ 1:47 dollars. 2. I =  b a1 t =2;Sb a1 ; b a1 + t =2;Sb a1  ; avec ici : t =2; = t0:025;28 = 2:048 , ce qui donne : I = [1:47 2:048  0:07 ; 1:47 + 2:048  0:07] ; soit I = [1:33; 1:61] : 3. On en déduit que la variance du terme d'erreur n'est pas constante, la série est hétéroscédastique. IV EXERCICE-3 1. Y = 0:2231X1 0:0017X2 0:5580X3 + 671:9363 + " 2. Le coefcient de détermination est R2 = 0:6407 et le coefcient de détermination corrigé est R2 = 0:5427 ; L'introduction de nouvelles variables explicatives accroît la part expliquée ; pour une même variabilité totale, R2 augmente quand on introduit des variables, mais cette augmentation tient au nombre de variables et non à leur pouvoir explicatif. Pour pallier à cet inconvénient, on introduit le coefcient de détermination corrigé qui tient compte de la baisse du ddl, consécutive à l'introduction de nouvelles variables explicatives indépendantes. On montre facilement que R2 < R2: 3. Degré de liberté Somme des carrés Moyenne des carrés F Régression 3 3069.1255 1023.0418 6.5376 Résidus 11 1721.3403 156.4855 Total 14 4790.4658 , les degrés de liberté sont respec- tivement : k; n k 1 et n 1 pour SCE; SCR et SCT; k nombre de variables explicatives. 4. F = SCE=k SCR= (n k 1) = 1023:0418 156:4855 = 6:537 6 ; sous l'hypothèse nulle H0 : a1 = a2 = a3 = 0; la variable aléatoire F suit la loi de Fisher avec pour degrés de liberté k et n k 1; soit 3 et 11:F(3;11) ' 3:587 Régle de décision : on prend un seuil de signication de 5% F > F(k;nk1); on rejette H0, on accepte l'hypothèse que les paramètres ne sont pas tous nuls et que R2 signicativement de 0; il existe au moins une variable signicative. Ce test est limité car il permet uniquement de conclure qu'une des variables au moins est signicative, mais ne donne aucune autre information (combien sont signicatives, lesquelles, etc). 5. Quand X1 augmente d'une unité, donc quand on passe d'un ratio de plus de 20 élèves, à un ratio de moins de 20, le score diminue de 0:22 ; ceci est à prori étonnant, mais on va voir que X1 n'est pas signicative. On peut répondre à cette question de différentes façons ; la plus simple est d'utiliser la pvalue de 0:9750 donnée par l'utilitaire d'analyse ; cette pvalue est largement supérieure à 0:05; donc au niveau de 5%; on ne peut rejeter l'hypothèse H0 : a1 = 0; c'est-à dire le fait que X1 n'entre pas dans l'explication de Y: On pourrait rechercher un intervalle de conance pour a1 et on trouve : [15:62; 15:18] ; un intervalle qui contient 0; ce qui ramène à la même conclusion. 6. On a répondu à la question précédente, c'est la p value : il y a 97:50% de risque de nous tromper en rejetant H0; donc ce risque étant supérieur au 5% accepté, nous ne pouvons rejeter H0: 2 UFR14 uploads/Philosophie/ m1-corexmars-2011.pdf

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