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Mathématiques pour la Physique. Bahram Houchmandzadeh Université Joseph Fourier

Mathématiques pour la Physique. Bahram Houchmandzadeh Université Joseph Fourier–Grenoble I 30 août 2004 Table des matières 1 Introduction. 5 2 Éléments d’analyse fonctionnelle. 7 2.1 Les espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 L’espace vectoriel des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Quelques digressions historiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Les séries de Fourier. 15 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Les séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes ? . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Un peu de généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Les séries de sinus et de cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.6 Vibration d’une corde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7 Dérivation terme à terme des series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.8 Equation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Les transformations de Fourier. 33 4.1 Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Les opérations sur les TF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Transformée de Fourier Rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Manipulation et utilisation des TF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Les distributions. 41 5.1 Ce qu’il faut savoir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Un peu de décence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3 Manipulation et utilisation des distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 Convolution et corrélation. 49 6.1 Les convolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Auto-corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Table des matières 7 Les transformées de Laplace. 55 7.1 Entrée en matière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2 Opérations sur les TL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3 Décomposition en fraction simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.4 Comportement assymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.5 Aperçu de systèmes de contrôle rétroactifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.6 Aperçu des équations intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.7 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8 Les opérateurs linéaires. 65 9 Les polynômes orthogonaux. 67 10 Les fonctions de Green. 69 10.1 Entrée en matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 10.2 Le potentiel électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10.3 La propagation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 10.4 Propagateur pour l’équation de Shrodinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 10.5 Disposer d’une base propre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 11 Calcul des perturbations. 75 11.1 Les perturbations régulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 11.2 Les perturbations singulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 12 Équation à dérivée partielle de premier ordre. 85 12.1 La méthode des caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13 Les équations de la physique. 89 13.1 Equation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 13.2 Equation d’onde et de chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 14 Qu’est ce qu’un nombre ? 93 14.1 Les entiers naturels N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 14.2 Les ensembles Z et Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 14.3 Un peu de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 14.4 L’ensemble des nombres réels. . . . . . . . uploads/Philosophie/ math-cours-grenoble-u-mathematique-pour-la-physique.pdf