PCSI2 N. Véron juillet 2012 Chapitre 1: Le corps des nombres complexes-résumé 1

PCSI2 N. Véron juillet 2012 Chapitre 1: Le corps des nombres complexes-résumé 1. Corps des nombres complexes 1.1 Présentation: On admet qu'il existe un ensemble possédant les propriétés suivantes:  Cet ensemble contient  et on peut y prolonger les opérations usuelles en conservant leurs propriétés.  Cet ensemble contient un élément noté i vérifiant i²=-1. Déf: Cet ensemble est  = {a+ib, a et b réels}. et ces éléments sont appelés nombres complexes. Soit z, z s'écrit de manière unique sous la forme z=a+ib, avec a et b réels. cette écriture est la forme algèbrique de z Vocabulaire: Soit z=a+ib avec a,b∈.  a est la partie réelle de z, on note a=Re(z)  b est la partie imaginaire de z, on note b=Im(z) Propriétés immédiates: a+ib=a'+ib' ⇔ a=a' et b=b' z=z' ⇔ Re(z)=Re(z') et Im(z)=Im(z') z=0 ⇔ Re(z)=0 et Im(z)=0. Interprétation géométrique: On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,u,v   ), qu'on qualifie alors de plan complexe. A tout nombre complexe z = a+ib on peut associer:  le point M de coordonnées (a,b)  le vecteur w au bv = +     z est appelé affixe de M ou de w   selon le cas. Si zA est l'affixe de A et zB l'affixe de B alors l'affixe de AB est zB-zA. Déf: Un imaginaire pur est un nombre complexe complexe dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est noté i. zi ⇔ Re(z)=0 ou encore i = {z, Re(z)=0} Interprétation géométrique: Soit M(z) le point d'affixe z dans le plan complexe.  z ⇔ M(z)(Ox)  zi ⇔ M(z)(Oy) 0 est à la fois réel et imaginaire pur et c'est le seul. Ainsi, ∩i={0} 1.2 Addition et multiplication dans     Déf: Soit z = a + ib et z' = a' + ib' deux nombres complexes. La somme de z et de z' est z+z' = (a+a') + i(b+b') Propriétés de l'addition dans      + est un loi interne  + est associative  + possède un élément neutre qui est 0.  tout nombre complexez = a+ib possède un opposé noté –z et –z = -a - ib  + est commutative On résume ces propriétés en disant que (   ,+) est un groupe commutatif. Remarques:  Re(z+z') = Re(z) + Re(z') et Im(z+z') = Im(z) + Im(z') PCSI2 N. Véron juillet 2012  Re(-z) = -Re(z) et Im(-z) = -Im(z) Déf: la différence z-z' est la somme z + (-z'). Déf: Soit z=a+ib et z'=a'+ib' deux nombres complexes. Le produit de z et de z' est zz' = (a+ib)(a'+ib') = (aa'-bb') + i(ab'+a'b) Propriétés de la multiplication dans      × est un loi interne  × est associative  × possède un élément neutre qui est 1  Tout nombre complexe non nul possède un inverse  × est commutative Remarque: (*,x) est un groupe commutatif Propriétés de la multiplication dans     (suite): x est distributive sur + cad, Pour tout z,z' et z" dans , z(z'+z") = zz' + zz" On résume toutes les propriétés précédentes en disant que (   ,+,x) est un corps commutatif. Déf: Soit z et z' deux nombres complexes et n un entier naturel: • Si z'≠0, le quotient z z' est défini par z 1 z z' z' = × • z0 = 1 et pour tout n, zn+1 = z×zn • Si z≠0, n n 1 z z − = A retenir: in= 1 si n=4k i si n=4k+1 1 si n=4k+2 -i si n=4k+3      −     où k∈. Proposition 1.1: zz'=0 ⇔ z=0 ou z'=0 1.3 Formules Proposition 1.2: Egalité de Bernoulli Soit a et b deux nombres complexes et n un entier naturel non nul, an –bn = n 1 n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1 n 1 k k k 0 ( a b)( a a b a b a b b ) ( a b ) a b − − − − − − −− = = − + + + + + = − ∑ ⋯ Conséquence: ∀z∈, z≠1, n 1 n n k k 0 1 z (1 z z² z ) z 1 z + = − + + + = = − ∑ ⋯ Proposition 1.3: Formule du binôme de Newton: Soit a, b∈ et n∈, (a + b)n = n n k n k n k k k 0 k 0 n n a b a b k k − − = =     =     ∑ ∑ Dans la pratique: On utilise le triangle de pascal pour obtenir les coefficients: n n p n p    =       −    et si 1≤p≤n, n n 1 n 1 p p p 1      − − = +           −      . PCSI2 N. Véron juillet 2012  Conséquence n n n n ... 0 1 n 1 n       + + + +             −       = n n k 0 n 2 k = =    ∑ .  Attention: Il n'est pas possible de définir dans  une relation d'ordre qui soit compatible avec les opérations usuelles. Dans la suite on considère  comme non ordonné et on utilise le signe ≤ uniquement entre deux réels. 2. Conjugaison Déf: Soit z un nombre complexe, le conjugué de z est le nombre complexe z = Re(z) - iIm(z) Interprétation géométrique: M'(z ) est le symétrique de M(z) par rapport à (Ox). Propriétés de la conjugaison: Pour tout z et z' dans ,  z z=  ' z z ' z z + = + z z' z z' × = × et par récurrence immédiate: n n z z = pour tout n.  avec z≠0, zz-1=1 donne z 1 z 1 = , puis n n z z = pour tout n.  ) z Re( 2 z z = + ) z Im( i 2 z z = − On en déduit z ⇔ z=z zi ⇔ z = -z  z z = Re(z)²+Im(z)² Dans la pratique: le point  permet de calculer les quotients: on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. 3. Module 3.1 Module d'un nombre complexe. Déf: Soit z, on appelle module de z=x+iy où x et y ∈, le réel positif défini par: ² y ² x z z z + = = Remarque: Lorsque z est réel son module est sa valeur absolue. Le module est donc une extension à  de la valeur absolue. Interprétation géométrique: Soit M(z), M'(z') et M''(z+z') dans le plan complexe lzl = OM lz-z'l = M'M lz+z'l = OM" On a l-zl = z z = par argument de symétrie. Propriétés du module: Pour tous z et z' de   |z| = 0  z = 0  lzl² = z z et donc si z≠0, 1 z z z² =  lzz'l=lzllz'l et par récurrence immédiate lznl = lzln pour tout n.  si z≠0, z 1 z 1 = et si z'≠0, ' z z ' z z =  Re(z) ≤ lzl et Im(z) ≤ lzl PCSI2 N. Véron juillet 2012 Proposition 1.4-Double inégalité triangulaire: Pour tous z et z' de , z z' z z' z z' − ≤ + ≤ + et z z' z z' z z' − ≤ − ≤ + 3.2 Groupe des nombres complexes de module 1 Déf: U désigne l'ensemble des nombres complexes de module 1. Interprétation géométrique: U est représenté dans le plan complexe par le cercle de centre O et de rayon 1 appelé cercle trigonométrique. Propriétés des complexes de module 1:  U ⊂ * car lzl = 1 ⇒ z ≠ 0  1∈U  Si z et z'∈U alors zz'∈U car lzz'l =lzl.lz'l = 1  Si z∈U alors z-1∈U car lz-1l = lzl-1 = 1 de plus z-1 = z On peut résumer en disant que (U,x) est un groupe et plus précisément un sous-groupe de (   *,x). Proposition 1.5: U = {cosθ + isinθ, θ∈} Remarque: Si I est un intervalle de  de longueur 2π alors U={eiθ, θ∈I}. Notation: z(θ)=eiθ Propriétés: Calculer avec eiθ: Pour tous réels θ et θ':  ei0 = 1 eiπ/2 = i eiπ = -1 leiθl = 1  eiθeiθ' = ei(θ+θ') eiθ e-iθ = 1 i i 1 e e −θ θ = i i( ') i ' e e e θ θ−θ θ =  θ i e = e-iθ uploads/Philosophie/ nombre-complexe.pdf

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