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CYCLE D’ORIENTATION DE L ’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES 8E S, L, M, Gni

CYCLE D’ORIENTATION DE L ’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES 8E S, L, M, GnivA – NA DÉPARTEMENT DE L ’INSTRUCTION PUBLIQUE GENÈVE 1994 11.038.48 Rédaction: L ’édition précédente de ce manuel a été rédigée et mise au point par un groupe d’enseignant-e-s et de représentant-e-s de bâtiment émanant du groupe de mathématiques du cycle d’orientation de Genève. L ’édition de 1994 a bénéﬁcié de la contribution de Monsieur John Steinig, professeur à la section de mathématiques de l’Université de Genève ainsi que de celles de Madame Jocelyne Durler et Monsieur Alain Emery, présidents du groupe de mathématiques. Couverture: Création: Pierre -Yves Jetzer Daniel Menotti Photolitho: D. Hiestand Graphisme et mise en pages: Konrad Pﬁster Coordination de l’édition: Gérard Etique Flashage: CITP , Genève Impression: Roto-Sadag, S.A., Genève © État de Genève, département de l’instruction publique, 1994 AVANT-PROPOS Ce manuel est destiné aux élèves des sections scientiﬁque, latine et moderne, aux élèves de niveau A de la section générale ainsi qu’aux élèves de niveau A des collèges à options et à niveaux du cycle d'orientation. Il est conforme au nouveau plan d’études des mathématiques adopté par le Conseil de direction en 1985. Il fait suite au livre de 7e année, réédité en 1993. Les caractéristiques essentielles de ce manuel sont les suivantes: – Il tient compte des conclusions de CIRCE III ainsi que des recommandations de la Commission genevoise de l'enseignement des mathématiques. – Il est essentiellement conçu comme un recueil contenant de nombreux exercices dans lequel chaque enseignant-e effectue un choix en fonction du niveau de ses élèves, ce qui lui permet de différencier, voire d'individualiser son enseignement. – La plupart des chapitres comportent quatre parties: • un résumé théorique destiné à l'élève qui veut revoir les connaissances indispensables pour résoudre les exercices, • des exercices oraux qu'il est possible d'effectuer mentalement, • des exercices écrits, • des exercices de développement qui dépassent le cadre strict du programme. – Les élèves n’écrivent pas dans le manuel; ils font leurs exercices dans leur cahier. – Le manuel est complété par un cahier de géométrie dans lequel les élèves effectuent des constructions géométriques. Ce manuel rédigé par un groupe d’enseignant-e-s du cycle d’orientation a fait l’objet d’une consultation auprès de tous les maîtres. La présente édition a été revue en profondeur et considérablement améliorée, principalement au niveau de la théorie. C'est un plaisir pour nous de remercier toutes celles et tous ceux qui ont contribué à conférer à ce moyen d'enseignement une efﬁcacité accrue, notamment Monsieur John Steinig, professeur à la section de mathématiques de l’Université de Genève, pour son très grand investissement dans cette nouvelle édition. L'enseignant-e saura apprécier les améliorations apportées à cet ouvrage, tout en se rappelant qu'il n'est qu'un outil et qu'il est indispensable de se référer au plan d'études pour y trouver les objectifs à atteindre ainsi que les savoir-faire que les élèves doivent maîtriser. Maurice BETTENS Directeur du service de l'enseignement TABLE DES MATIÈRES LES ENSEMBLES DE NOMBRES LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS PAGE EXERCICES THÉORIE 11 EXERCICES ORAUX 19 1 à 56 EXERCICES ÉCRITS 27 57 à 112 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 39 113 à 135 LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE 47 EXERCICES ORAUX 53 136 à 154 EXERCICES ÉCRITS 57 155 à 206 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 65 207 à 223 LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS THÉORIE 73 EXERCICES ORAUX 101 224 à 268 EXERCICES ÉCRITS 109 269 à 396 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 133 397 à 412 ALGÈBRE LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE 141 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 149 413 à 527 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 171 528 à 550 1 3 4 2 LES ÉQUATIONS PAGE EXERCICES THÉORIE 179 EXERCICES ORAUX 185 551 à 568 EXERCICES ÉCRITS 189 569 à 629 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 199 630 à 665 PROPORTIONS ET APPLICATIONS LES APPLICATIONS THÉORIE 207 EXERCICES ORAUX 213 666 à 679 EXERCICES ÉCRITS 221 680 à 705 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 227 706 à 715 LES PROPORTIONS THÉORIE 231 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 249 716 à 844 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 273 845 à 865 GÉOMÉTRIE LONGUEURS ET AIRES THÉORIE 279 EXERCICES ÉCRITS 285 866 à 889 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 293 890 à 912 VOLUMES THÉORIE 303 EXERCICES ORAUX 315 913 à 921 EXERCICES ÉCRITS 321 922 à 993 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 343 994 à 1029 5 6 7 8 9 Remarque importante Les élèves sont invités à ne porter aucune inscription dans ce livre qui leur est prêté. Les exercices proposés doivent être résolus dans le cahier prévu à cet effet. 1 / ENSEMBLES DE MULTIPLES, ENSEMBLES DE DIVISEURS 8 MATHÉMATIQUE 7E 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 1 NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS LES MATHÉMATIQUES 8E 11 THÉORIE 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Dans ce chapitre, nous utiliserons des nombres décimaux positifs. Rappelons de quoi il s’agit. Une fraction représente un nombre. On obtient l’écriture décimale (c’est-à-dire, en base 10) de ce nombre en divisant le numérateur de la fraction par son dénominateur. Selon la fraction, la division ﬁnit par s’arrêter, ou bien ne s’arrête jamais. Comparons par exemple ce qui se passe quand on écrit en base 10 le nombre représenté par la fraction , et celui représenté par la fraction . On trouve et Dans le cas de la division ne s’arrête jamais. On dit: représente un nombre dont l’écriture en base 10 est illimitée (on doit l’écrire avec une inﬁnité de chiffres après la virgule). Et on dit: représente un nombre qui a une écriture ﬁnie en base 10 (on peut l’écrire sans utiliser une inﬁnité de chiffres après la virgule). Le nombre représenté par est un nombre décimal; celui que représente n’est pas un nombre décimal. Exemples Voici quatre nombres décimaux: Mais les quatre nombres suivants ne sont pas des nombres décimaux: Remarque Les entier positifs, et 0, sont des nombres décimaux. 1 40 1 41 1 40 = 0,025 1 41 = 0,024390243902439… 1 41 1 41 1 40 1 40 1 41 Un nombre décimal est un nombre qui a une écriture ﬁnie en base 10. 7 10 = 0,7 40 5 = 8 30 8 = 3,75 17 25 = 0,68 1 3 = 0,333333… 108 99 = 1 ,090909… 1 37 = 0,027027… 4 11 = 0,363636… 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE 12 MATHÉMATIQUES 8E Comme dans le manuel de 7e, nous utiliserons les notations: IN = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … } (IN est appelé l’ensemble des entiers naturels, ou encore l’ensemble des nombres naturels.) IN* = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; … } (IN* est appelé l’ensemble des entiers positifs, ou encore l’ensemble des nombres naturels positifs.) 2. OPÉRATIONS AVEC LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 2.1 RAPPEL DE 7e: LES QUATRE OPÉRATIONS Ces opérations se nomment l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Voici un rappel de vocabulaire, et de quelques propriétés de ces opérations. Dans ce qui suit, les lettres a, b, c désignent des nombres décimaux positifs. L’addition L’addition est: – commutative : a + b = b + a – associative : (a + b) + c = a + (b + c) La multiplication La multiplication est: – commutative : a · b = b · a – associative : (a · b) · c = a · (b · c) La soustraction La soustraction n’est ni commutative, ni associative. La division La division n’est ni commutative, ni associative. MATHÉMATIQUES 8E 13 THÉORIE 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 2.2 LA DISTRIBUTIVITÉ La distributivité est une propriété qui lie l’addition et la multiplication. Voici un exemple. On a 4 · 13 = 52 . Faisons ce calcul autrement: on peut aussi écrire 4 · 13 = 4 · (3 + 10) = (3 + 10) + (3 + 10) + (3 + 10) + (3 + 10) = (3 + 3 + 3 + 3) + (10 + 10 + 10 + 10) = 4 · 3 + 4 · 10 = 12 + 40 = 52 On a donc : 4 · (3 + 10) = 4 · 3 + 4 · 10 On peut donner une illustration géométrique de cet exemple, en calculant de deux manières l’aire de ce rectangle: D’une part, un calcul direct montre que cette aire est égale à 4 · 13 = 52 unités d’aire. D’autre part, en faisant la somme des aires des deux petits rectangles, on trouve 4 · 3 + 4 · 10. La propriété de distributivité est exprimée par la règle suivante: Là aussi, on peut donner une illustration géométrique, si a > 0, b > 0 et c > 0 : 4 10 13 4 · 10 4 · 3 3 a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c a b b + c a · b a · c c 1. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE 14 MATHÉMATIQUES 8E 2.3 L’EXPONENTIATION Il arrive souvent qu’on multiplie uploads/Philosophie/ shila-matematik-co8-co-cours-manuel-mathematiques-slm-pdf.pdf