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FORFAITURE PHILOSOPHIE OCCIDENTALE - 1022 1023 - PHILOSOP FORFAITURE [jur.] sub

FORFAITURE PHILOSOPHIE OCCIDENTALE - 1022 1023 - PHILOSOP FORFAITURE [jur.] subs. jém. A l'époque féodale, la forfaiture est la violation du ser- ment de foi et hommage prêté au seigneur par ses vassaux. C'est donc une trahison, une félonie. La conséquence en était la vacance du fief. Le terme est entré dans le droit moderne pour désigner la faute grave que commet un fonctionnaire public lorsqu'il viole les devoirs de sa charge. Cette violation entraînant une véritable déchéance morale est punie au moins par la dégradation civique. (S. Goyard-Fabre.) —> Devoir, Faute, Serment, Trahison. — III : LOCKE. FORMALISATION [épist. gêné.] subs. Jém. Opération qui transforme un système de signes dans un autre système de signes. Dans le système de départ, la signification des termes joue un rôle important dans la manière dont ils sont employés et dont ils sont combinés entre eux. Dans le système qui résulte de la transformation — du moins dans le cas où il s'agit d'une formalisation complète — le rôle joué par les significations des termes est complètement éliminé. Le résultat d'un processus de formalisation est un « calcul » (calculas dans la terminologie anglaise) ou un « système logistique », c'est-à-dire un système qui est entièrement caractérisé par sa syntaxe. Il existe trois types de procédures de base pour la construction d'un calcul. Le plus cou- rant est le système syntaxique de Kleene. Les deux autres sont Vob System de Curry et le système algorithmique de Lorenzen. On obtient un système du type des systèmes syntaxiques de Kleene de la manière suivante : a) on indique quels sont les symboles admis (ces symboles sont donnés comme les éléments d'un ensemble S), b) on stipule quelles sont les combinaisons qui sont admises entre les symboles de S (ces combinaisons forment un ensemble CP), c) on choisit dans l'ensemble CP un sous-ensemble A ; ce sous-ensemble contient les axiomes du système, d) on stipule quelles sont les règles de transformation admises ; ces règles détermi- nent la manière dont on peut, à partir d'une construction donnée (p. ex. un axiome), engendrer une nouvelle construction (un théorème ou une construction équiva- lente). Ce processus de formalisation, c'est-à-dire de trans- formation d'un système concret en un système abstrait (ou « calcul »), s'oppose au processus inverse, l'interprétation d'un calcul. La démarche d'interprétation consiste à cons- truire, à partir d'un calcul, un modèle de ce calcul, sous la forme d'un système plus concret. La procédure de for- malisation a commencé avec Averroes (1126-1198) et, via Lullus Raymondis (1235-1315), Hobbes et Leibniz, elle a trouvé sa première consécration avec Boole (The Mathema- tical Analysis of Logic, 1847). Elle se situe dans le cadre de la standardisation et de la spécialisation de la vie sociale. Elle présente beaucoup d'avantages, mais aussi des désa- vantages comme toute standardisation. Les avantages de la formalisation sont qu'elle permet une meilleure systé- matisation et une meilleure communicabilité de la connais- sance. Ses désavantages, par contre, sont qu'elle rend la connaissance plus rigide et aussi plus indépendante des situations dans lesquelles elle est produite. Cela peut impli- quer un manque de dynamisme, une relative incapacité à adapter la connaissance au changement des circonstances. Et d'autre part la compréhension de la connaissance for- malisée est réservée aux spécialistes, qui sont familiarisés avec les formalismes particuliers utilisés dans les différents contextes où ils se révèlent efficaces. (F. Vandamme.) • E. BETH, Formai Methods. An Introduction to Symbolic Logic and to thé Study of Effective Opérations in Arithmetic and Logic, Dordrecht, Boston, D. Reidel Publ. Co., 1962. — H. CURRY, Outlines of a Formatât Philomphy of Mathema- tics, Amsterdam, North Holland Publ. Co., 1958 ; Foundations of Mathema- tical Logic, New York, MacGraw-Hill, 1963. — D. DUBARLE, Logos itforma- lisation du langage, Paris, Klincksieck, 1977. — S.C. KLEENE, Introduction to Metamathematics, Amsterdam, North-Holland Publ. Co., 1952 ; Mathemati- cal Logic, New York, London, Sydney, J. Wiley & Sons, 1967, tr. fr., Logi- que mathématique, Paris, A. Colin, 1971. — P. LORENZEN, Einfûhrung in die operative Logik und Mathematik, Berlin, Heidelberg, New York, Springer- Verlag, 1969. — R. MARTIN, Logique contemporaine et formalisation, Paris, PUF, 1964. — A. TARSKI, Introduction to Logic and to thé Methodology of Deductive Sciences, Oxford, Oxford University Press, 1941, tr. fr., Introduction à la logique, Paris, Gauthier-Villars, Louvain, Nauwelaerts, 1969. —^ Axiomatique, Axiome, Formalisme, Forme, Interprétation, Logique, Métalangage, Syntaxe (— logique), Système (— formel). — III : BETH, BOOLE, CARNAP, CURRY, DUBARLE, KLEENE, LORENZEN, R. MARTIN, RUSSELL, TARSKI. Formalisation (— de l'arithmétique) [math.] L'arithmétique occupe une place centrale en mathématique, pre- mièrement à cause du caractère naturel des problèmes que posent les nombres entiers, deuxièmement parce que ceux-ci sont néces- saires pour définir les nombres réels, donc pour développer toute l'analyse. Il n'est donc pas étonnant qu'elle ait été une des pre- mières théories à être formalisée : reprenant des travaux de Dedekind, Giuseppe Peano publie en 1889 ses Arithmetics princi- pia où sont exposés ses fameux axiomes. Les axiomes de Peano utilisent la notion de classe. On dirait de nos jours que ce sont des axiomes du second ordre. Ils emploient comme symboles primitifs le signe = , la classe N* des entiers strictement positifs, la constante 1 et la fonction à une place qui à n fait correspondre n + 1. Si on laisse de côté les axiomes purement logiques, il en reste cinq, qui s'expriment comme suit lorsqu'ils sont tra- duits en langage moderne : (1) 1 est dans N* (2) si a est dans N*, il en est de même de a+ 1 (3) si a et b sont dans N*, e t a + l = b + l , alors a = b. (4) si a est dans N*, alors a + 1 ^ 1 (5) si k est une classe contenant 1 et telle que, pour tout x de N *, x appartient à k implique x + 1 appartient à k, alors N* est inclus dans k. Le dernier axiome est appelé l'axiome d'induction. Il justifie les raisonnements par récurrence, et, à ce titre, c'est la clef de voûte de l'arithmétique. C'est le seul à faire appel à la notion de classe. On remarque aussi que l'addition et la multiplication ne font pas partie des symboles primitifs. Il faut les définir à partir des autres. Il s'agit donc, comme on le voit, d'une axiomatisation relativement simple. En principe, elle permet de développer toute la théorie des nombres. En principe seulement : on a vu comment cette science faisait appel à presque toutes les ressources des mathématiques. Il existe plusieurs variantes de ces axio- mes. Une des plus intéressantes est ce qu'on appelle les axiomes de Peano du premier ordre. Une première diffé- rence est que l'on ajoute l'addition et la multiplication comme symboles primitifs, accompagnés des axiomes qui les définissent : Pour tout a et b, ((a + b) + 1) = a + (b + 1) Pour tout a et b, a x (b + 1) = (a x b) + a L'autre différence est beaucoup plus importante ; c'est elle qui évitera l'usage de la notion de classe. Elle consiste à remplacer le cinquième axiome par une infinité d'autres : à chaque fois que l'on a une propriété P(x) exprimable dans le langage (sans classe !) que l'on vient de décrire, on ajoute l'axiome suivant : Si P(l) est vrai et si, pour tout entier x, P(x) implique P(x +1), alors P(x) est vrai pour tout entier x. Ce système est un p< beaucoup car lui aussi théorèmes de la théorie 1933 en a construit ur dire non isomorphe à de tel n'existe pour l'i En revanche, il a un a formalisation complète mel, c'est-à-dire l'ens< d'utiliser, est fixé : il (par exemple 3, qui « implique ») et les syi introduits. Un énom considéré comme une pour avoir une signifj obéir à des règles de s facile de coder ces suit (arithmétisation de la s veut dire qu'il y a de qu'un ordinateur cor effectuer, et qui perme ver son code, et étant du code d'une formule échéant. Le pas suivaj démonstration : ce ne succédant de façon ris le langage de l'arithn Dem (n), dépendant c tion est que l'entier n peut démontrer à part réussi à refléter l'aritl Cette situation mène à nous pouvons énumé a / Le théorème de Gode Prenons une form exemple, et disons, pi 3307500. On appeler La formule <p signifie blé à partir des axiomi niers ne sont pas con tement évident. Pour <p elle-même n'était pz axiomes de Peano : ce prouvable. En fait, c équation diophantien nam, J. Robinson et b / Non-définissabilité i Intéressons-nous rr des formules qui sont se passe pour les forn nissable dans le lang; ment, il n'y a pas de satisfaite par les élén c / Indécidabilité de l '& Une autre conséque maticien, est qu'il n'< si une proposition esi résultat est vrai entre pour les énoncés aritl axiomes de Peano ; p conque à partir des si uploads/Philosophie/f 1 .pdf