Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Module : Programmation linéaire 3 ème Année Informatique Option: SI Université

Module : Programmation linéaire 3 ème Année Informatique Option: SI Université d’Adrar Faculté des sciences et technologies Département de Mathématique et Informatique 1 Rappels Mathématique (algèbre linéaire) Email : dje.benatiallah@univ-adrar.edu.dz Plan du cour 01 Rappel sur les espaces vectoriels et les matrices 02 Matrices en informatique 03 Comatrices, déterminants, systèmes linéaires 03 Polynôme caractéristique, valeurs propres, ss- espace propre 04 Diagonalisation 05 Matrices de covariance ? 06 ... 2 Notion de Corps (nécessaire pour un e.v.) 3 * Un corps commutatif est un ensemble avec 2 lois internes (appelées addition et multiplication). * L'addition est associative, commutative, a un élément neutre, et tout élement doit avoir un symétrique. * La multiplication doit aussi être associative, commutative (car c'est un corps commutatif), avec un élément neutre, et tout élément doit avoir un symétrique (sauf 0, car 1/0 n'est pas défini). * La multiplication doit être distributive par rapport à l'addition. * Exemples de corps : Q, R ou C,... •N est-il un corps ? N n'est pas un corps car un entier n'a pas d'inverse. Rappel sur les Espaces Vectoriels 4 1 loi interne 1 loi externe faisant intervenir un élément d'un corps commutatif « à nombres » appelé « scalaire ». * Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel * Un Espace Vectoriel (e.v.) est un ensemble avec 2 lois : 1 loi interne 5 Loi interne (notée +) (la loi est « interne » car un vecteur de l'e.v. + un autre vecteur de l'e.v. donne un vecteur de l'e.v.) La loi interne d'un e.v. doit être : Associative : (v+u)+w = v+(u+w) Commutative : v+u = u+v Elt neutre (noté 0 du fait que la loi est notée +). Tout elt a un symétrique (ici appelé « opposé » du fait que la loi est « + »). 6 * Loi externe (notée *) (la loi est externe, car elle fait intervenir un élement extérieur à l'e.v. (appelé scalaire) qui doit appartenir à un corps contenant des nombres (cf. 1er transparent)). * Loi externe : scalaire * vecteur donne vecteur. * Le scalaire doit être un réel, un rationnel ou un complexe, car le scalaire doit être dans un corps qui contient des nombres. * La loi externe doit :  posséder un élement neutre (noté 1 du fait que la loi est notée *),  être associative,  être distributive par rapport à la loi interne +. 7 Exercice * Notation : on dit qu'un vectoriel est « sur X » si X est le corps auquel appartient le scalaire nécessaire à la loi externe. On note un vectoriel « sur X » un X-e.v. * Les vectoriels R, Q et C sont-ils des vectoriels sur R, sur Q ou sur C ? * Exemple : R est -il un R-e.v. ? (les vecteurs sont des réels, et on prend les scalaires sur R). * R est-il un C-e.v. ? •Remplissez le tableau suivant : C est-il un X X X R est-il un X X C R Q Q est-il un X C R Q C est-il un X X X R est-il un X X Q est-il un X 8 Exemples d'e.v. de base (autres que C R Q) * Ensemble des suites (qu'on n'utilisera pas). * Ensemble des fonctions F(R,R) est-il un R-e.v. ? * Ensemble des matrices (donc une matrice est un vecteur ! car l'ensemble des matrices est un espace vectoriel, et on appelle vecteur tout élément d'un espace vectoriel). •Ensemble des n-uplets (R ). •Ensemble des polynômes. •* ... 9 Espace et sous-espace vectoriel * Un s.e.v. est un e.v. inclus dans un autre e.v. * Un s.e.v. doit être « stable » pour les deux lois : Ex : Dans R , une droite (passant par 0) est un s.e.v. : - Un vecteur de cette droite est un vecteur directeur de la droite. - Un s.e.v. est « stable » par les deux lois : la somme de 2 vecteurs directeurs est un vecteur directeur, et la multiplication d'un vecteur directeur par un scalaire est un vecteur directeur. 10 Rappel sur les matrices * Tableau de nombres, décomposé en lignes et colonnes * Les matheux notent les matrices par une majuscule A, dont les coefficients sont notés avec des minuscules (ai,j, avec i ligne, j colonne). * Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes, donc il suffit de donner un seul des 2 nombres : matrice de taille 3 = matrice carrée 3x3 * Une matrice diagonale a des 0 partout sauf sur sa diagonale * Attention : dans une matrice de mathématicien, il n'y a qu'une seule diagonale !!! 10 11 Rappel sur les matrices (2) * Une matrice triangulaire a des 0 partout dans un des triangles de la matrice (diagonale non incluse). On parle de matrice triangulaire inférieure ou supérieure. * La matrice nulle est une matrice ne contenant que des 0 (c'est l'élement neutre pour l'addition). * La transposée d'une matrice est une autre matrice dont les lignes sont les colonnes de la matrice d'origine, et les colonnes sont les lignes de la matrice d'origine. 1 4 A = 2 5 3 6 1 2 3 4 5 6 A = T 12 Rappel sur les matrices (3) Attention : pour les matrices, le mot « symétrique » a deux sens : - Le symétrique d'une matrice est la matrice inverse de cette matrice (au sens où la matrice multipliée par son inverse = la matrice identité). - On parle aussi de matrice symétrique, lorsque les coefficients sont identiques de part et d'autre de la diagonale. - On parle aussi de matrice antisymétrique, lorsque les coefficients de part et d'autre de la diagonale sont opposés. Une conséquence est que tous les coefficients de la diagonale d'une matrice antisymétrique sont nuls. 13 Somme de deux matrices * La somme C de deux matrices A et B est une troisième matrice dont les coefficients sont la somme des coefficients des matrices A et B. * ci,j = ai,j + bi,j * Conséquence : la somme de 2 matrices n'est définie que si les deux matrices sont de même dimensions (même nombre de lignes et de colonnes). * Calculer la somme de : 1 2 3 4 5 6 1 3 5 et B = 2 4 6 A= 14 Multiplication d'une matrice par un réel * Le réel multiplie chaque coefficient de la matrice. 1 2 7 2x 3 4 8 = 5 6 9 15 Multiplication de 2 matrices * Chaque coefficient de la matrice produit est la somme sur k des ai,k bk,j (avec k, numéro de la colonne de la première matrice). * Il faut donc que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde. * Il existe une disposition permettant de multiplier facilement des matrices (et même d'enchaîner les multiplications) : 1 2 7 2 3 4 8 3 5 6 9 4 1 2 3 4 5 6 16 Matrice identité et matrice inverse * La matrice identité est l'élément neutre de la multiplication entre deux matrices. Il s'agit d'une matrice diagonale dont les coefficients valent tous 1 : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 •La matrice inverse A est celle qui, multipliée par A-1. • Dons la matrice identité. Pour que A ait un inverse, A doit être carrée. 17 Exercices -1 4 5 1 0 0 -3 2 0 -1 2 3 1 -1 2 2 1 -1 -1 2 1 * Soient A = , B = , C = 4 1 3 5 3 2 * Calculer : - BA + CA et (B + C)A T (B + A) et B + A T T - - T (BA), B A et A B T T T T - A2 – B , (A - B) (A + B) et (A + B) (A – B) - (B – I3) (B – 2I3) (B – 3I3) (1, 2, 3 sont valeurs propres). 1 1 - Le produit AB et BA pour A= 1 1 1 et B = 1 18 Implémentation d'une matrice en mémoire (différence C et Fortran).  Ecrire un programme effectuant :  La somme de 2 matrices  La transposée d'une matrice  La multiplication de deux matrices  L’inverse d’une matrice La multiplication de deux matrices est-elle parallélisable ? Exercice: Implémentation informatique 19 A = et B = 4 1 3 5 3 2 -1 4 5 x y z Que valent x, y, z ? : 4 1 3 0 0 0 5 3 2 0 0 0 x = –1 x 1 + 4 x –3 + 5 x – 1 x y z sont calculables y = –1 x 0 + 4 x 2 + 5 x 2 en parallèle (pas de z = –1 x 0 + 4 x 0 + 5 x 3 dépendances) -1 4 5 1 0 0 -3 uploads/Science et Technologie/ cours-1-rappels-mathematique-algebre-lineaire.pdf