Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Université Mohamed khider de Biskra Faculté des sciences et de la technologie D

Université Mohamed khider de Biskra Faculté des sciences et de la technologie Département de chimie industrielle Faculté : Sciences et Techniques Spécialité : Génie Chimique Mini projet sur: La méthode des différences finies Présenté par: Makhloufi Mohamed islam Année universitaire : Introduction : La pierre angulaire de la méthode des différences finies, est bel est bien le développement en série de Taylor. Brook Taylor, cet élève qui devint plus célèbre que ces professeurs, découvrit les séries appelées ‘développement de Taylor’. Par sa découverte, Taylor a mis entre nos mains le moyen de prédire la valeur d’une fonction en un point donné en fonction de sa valeur et la valeur de ces dérivées en un autre point tout proche du premier. C’est bien à partir de cette série, qu’on peut obtenir les schémas algébriques pour remplacer les dérivées dans une équation de type EDP (Equation aux Dérivées Partielles). C’est la base même de la méthode des différences finies et des autres méthodes déduites de celle-ci. Tout le reste n’est qu’annexes servant à parler de stabilité, consistance, erreurs de troncature et autres. Vous l’aurez compris, toute la philosophie de cette méthode est d’essayer de prédire ce qui se passerait dans un laps de temps sur la base de ce qui se passe à l’instant (valeur instantanée) et les tendances de changement actuelles (les dérivées successives). Ceci est vrai pour le temps mais aussi pour l’espace. Cette prédiction est d’autant plus juste que l’incrémentation est petite et/ou que les lois de changement et d’évolution sont connues. Cette méthode est basée sur la technique du développement en séries de Taylor qui permet d’approximer la valeur d’une fonction en un point donné si on connaît la valeur de ladite fonction ainsi que toute ces dérivées en un point voisin en espace ou en temps. Cette technique permet de développer des schémas pour remplacer les dérivées premières et secondes des EDP pour pouvoir envisager une solution numérique par calculateur. Pour obtenir une solution numérique il faut tout d’abord définir un domaine numérique constitué par un ensemble de points discrets appelé grille de calcul. Les valeurs instantanées et locales des variables dépendantes du problème sont définies sur l’ensemble des points de la grille de calcul. La différence entre cette vue numérique à travers un certain nombre de points et la distribution continue exacte représente l’erreur commise par la méthode numérique. Il est tout à fait logique de penser que plus le nombre de points est important plus la visualisation est claire, un peu comme les pixels d’une photo numérique. La Figure 1 représente des exemples de grilles de calcul. 1 Figure 1:Exemples de grilles de calcul 2 L’étape suivante consiste à approximer ou remplacer toutes les dérivées partielles par des schémas discrets (différences finies). L’EDP sera transformée en équation algébrique. Cette équation algébrique est ensuite appliquée sur l’ensemble des nœuds de la grille de calcul. Le résultat sera un système d’équation comportant autant d’équations que d’inconnues (nœuds). Ce système sera ensuite résolu par une méthode appropriée. Le résultat sera une distribution discrète de la solution sur l’ensemble des points du domaine de calcul. Grille de calcul : Figure 2 : Grille de calcul structurée 2D. Avant de commencer, il faut trouver un moyen qui nous permettra de localiser spatialement et temporellement tous les points de la solution numérique. C’est ce qu’on va appeler création de la grille de calcul. Dans la suite, on va résonner sur un espace plan (2D) et l’extension pour le 3D sera faite de manière intuitive. La Figure 2 représente la manière la plus directe pour repérer les points suivant la procédure structurée. C’est un peu comme une matrice, chaque point sera affecté de deux indexes (i,j) qui le positionneront par rapport à ces voisins. Soit U, la variable à calculer. Sa valeur aux différents points de la grille s’écrit de la 3 manière suivante : Ui 1, j U (x0  x, y0 ) (1) Ui 1, j  U (x0  x, y0 ) (2) Ui, j 1  U (x0 , y0  y) (3) Ui, j 1  U (x0 , y0  y) (4) Discrétisation de l'équation différentielle de la chaleur Considérons un solide à trois dimensions (sans source de chaleur) et dont la température T (x, y, z) satisfait l'équation de LAPLACE. Considérons un nœud intérieur P (x, y, z) entouré par les points 1, 2, 3, 4, 5 et 6 Dont les coordonnées sont indiquées sur la figure suivante : Figure 2:Maillage de différences finies en trois dimensions 4 Exprimons au moyen de développement de Taylor les températures T1 et T3 en fonction de T0. En ajoutant membre à membre, on trouve : En négligeant les termes d'ordre a 4 (a 4 est très petit du fait que le nombre de nœuds est suffisamment grand), on aura : De même, on peut écrire un développement en série de Taylor pour T2 et T4 : 5 Et même chose pour T5 et T6 : D'après les relations ci-dessus, on peut tirer facilement l'expression de T0 en fonction des températures avoisinantes et ce selon le cas : Ainsi l'approximation par des différences finies devient : Si ∆x = ∆y = ∆z, alors : Si, on tient compte d'une source de chaleur, on ajoute le terme k/q dans l'équation générale et on obtient : Et pour ∆x = ∆y = ∆z, 6 Conclusion Comme la méthode de différences finies est la plus ancienne et peut être la base des méthodes numériques d'approximation des équations différentielles, alors l'apprentissage d'une telle méthode va permettre de comprendre la base mathématique des méthodes numériques. Le travail présenté dans ce mini projet est consacré à l’étude de la discrétisation appliquée au cas conduction 3D en régime stationnaire par la méthode de différences finies. 7 Références bibliographique BERIACHE M'hamed, Simulation Numérique de la Conduction de Chaleur en 03 Dimensions par la Méthode des Différences Finies en Régimes Permanent et Variable, Mémoire de Magister, Université Hassib Benbouali Chlef, 12 -10-2004. METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULSDES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR présente par Pr. Abbès AZZI, Faculté de Génie-Mécanique USTO MB, (Version 1, Juin 2011) 8 uploads/Science et Technologie/ mini-projet 1 .pdf