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IIA2_IMI2 Année 2019-2020 Note de Cours en Ligne : Traitement du Signal T.S Sys

IIA2_IMI2 Année 2019-2020 Note de Cours en Ligne : Traitement du Signal T.S Système  S   N   dB = 10 log PS N P 1 Généralités Introduction Le traitement du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum d'information utile sur un signal perturbé par du bruit en s'appuyant sur les ressources de l'électronique et de l'informatique. Définitions Signal Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information. Bruit Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un signal. Remarque : Les notions de signal et bruit sont très relatives. Pour un technicien des télécommunications qui écoute un émetteur lointain relayé par un satellite, le signal provenant d’une source astrophysique (soleil, quasar) placée malencontreusement dans la même direction est un bruit. Mais pour l’astronome qui s’intéresse à la source astrophysique, c’est le signal du satellite qui est un bruit. Rapport signal sur bruit Le rapport signal sur bruit mesure la quantité de bruit contenue dans le signal. Il s'exprime par le rapport des puissances du signal (PS) et du bruit (PN). Il est souvent donné en décibels (dB). Système Un système est un dispositif représenté par un modèle mathématique de type Entrée/Sortie qui apporte une déformation au signal (Ex: modulateur, filtre, etc…). Entrée Sortie Chapitre 1 Amplitude Continue Discrète Temps Continu x(t) t x(t) t Discret x[n] n x[n] n Classification des signaux On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés. Classification phénoménologique On considère la nature de l'évolution du signal en fonction du temps. Il apparaît deux types de signaux : ▪ Les signaux déterministes : ou signaux certains, leur évolution en fonction du temps peut être parfaitement modéliser par une fonction mathématique. On retrouve dans cette classe les signaux périodiques, les signaux transitoires, les signaux pseudo-aléatoires, etc… ▪ Les signaux aléatoires : leur comportement temporel est imprévisible. Il faut faire appel à leurs propriétés statistiques pour les décrire. Si leurs propriétés statistiques sont invariantes dans le temps, on dit qu'ils sont stationnaires. Classification énergétique On considère l'énergie des signaux. On distingue : ▪ Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie. ▪ Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont donc physiquement irréalisable. Rappels : Energie d'un signal x(t)  + Wx =  - x(t) 2 dt 1 T/ 2 2 Puissance d'un signal x(t)  Px = lim T → T  -T/ 2 x(t) dt Classification morphologique On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont l'amplitude est discrète ou continue. quantification échantillonnage t T t T u(t) 1 r(t) 1 1 rec(t/T) 1 -T/2 T/2 +1 pour t>0  On obtient donc 4 classes de signaux : ▪ Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus ▪ Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu ▪ Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret ▪ Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets Signaux particuliers Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal dispose d'une modélisation propre. Fonction signe sgn(t)= -1 pour t<0  sgn(t) t Par convention, on admet pour valeur à l'origine : sgn (t) =0 pour t=0. Fonction échelon u(t)= 0 pour t<0 1 pour t>0 t Par convention, on admet pour valeur à l'origine: u (t) = ½ pour t=0. Dans certains, il sera préférable de lui donner la valeur 1. Fonction rampe r(t) = t . u(t) t =  u (τ)dτ t - Fonction rectangulaire  1 t 1 pour < 2 rect ( )=   T 0 pour > 1 t   2 On l'appelle aussi fonction porte. Elle sert de fonction de fenêtrage élémentaire. 1 -1  Impulsion de Dirac L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à 1. δ(t)=  pour t = 0 t 0 pour t  0 1  (t) ne peut être représentée graphiquement. On la schématise par le symbole Attention: le 1 marqué sur la flèche pleine représente l’aire de cette impulsion (et non la hauteur de l’impulsion). On peut encore considérer  (t) comme la dérivée de la fonction échelon : δ(t) = du(t) . dt ▪ Propriétés : Intégrale +  δ(t) dt = 1 − +  x(t).δ(t) dt = x(0) − +  x(t).δ(t− t0 ) dt = x(t0 ) − Produit x(t).δ(t) = x(0).δ(t) = x(0) x(t).δ(t− t0 ) = x(t0 ).δ(t− t0 ) = x(t0 ) Identité x(t)  δ(t) = x(t) Translation x(t) δ(t− t0 ) = x(t− t0 ) x(t− t1 ) δ(t− t0 ) = x(t− t1 − t0 ) Changement de variable δ(a . t) = a −1 δ(t) avec en particulier δ(ω)= 1 2π f δ(t) Remarque : Un signal physique y(t) correspondant au passage d’un état (1) vers un état (2) pourra être considéré comme un impulsion chaque fois que son temps de montée tm sera négligeable devant les autres temps mis en jeu dans le circuit. Il en est de même pour un échelon. (t) 1 sinc(t) 1 -3 -2 -1 1 2 3  Peigne de Dirac On appelle peigne de Dirac une succession périodique d’impulsions de Dirac. T(t) + δT (t)= δ(t- kT) k→- -KT -2T -T T 2T KT t T est la période du peigne. Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage. Ce type de signal est principalement utilisé en échantillonnage . Fonction sinus cardinal sin (πt) sinc(t) = πt t Cette fonction joue un rôle très important en traitement du signal. ▪ Propriétés : +  sinc(t) dt = 1 - +  sinc2(t) dt = 1 - Représentation fréquentielle On a pour habitude de décrire les signaux en fonction de la variable temporelle t car notre perception des phénomènes physiques nous y incite. En électronique, la connaissance des propriétés spectrales d'un signal est primordiale. Ainsi, on utilise souvent une représentation en fonction de la fréquence pour caractériser un signal ou un système. Les outils de traitement des signaux nous aident dans cette tâche. Exemple : le support de transmission du téléphone à une bande passante de 3kHz alors que la bande passante des signaux audibles est de 20kHz. Ceci explique pourquoi un signal audio de haute qualité transmis par voie téléphonique sera perçu comme de mauvaise qualité par le récepteur. T 2 Traitement du signal analogique Série de Fourier Définition La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme de sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques. Elles permettent ainsi de passer facilement du domaine temporel au domaine fréquentiel. Pour pouvoir être décomposable, un signal doit être à variations bornées (Dirichlet). Pour tout signal s(t) réel où s(t) = s(t+T0), on peut écrire : ω = 2π   0   0  avec Remarques : On appelle le signal de pulsation 0 le fondamental. On appelle les signaux de pulsation n.0 les harmoniques de rang n. La valeur de S0 représente la valeur moyenne de s(t). Autre expression : L'écriture précédentes des séries de Fourier présente en fait peu d'intérêt physique, en effet si la fonction f(t) subit une simple translation suivant l'axe des temps alors les coefficients An et Bn seront modifiés. En conséquence, on cherche donc une nouvelle écriture des séries de Fourier dans laquelle la puissance est conservée après une translation suivant l'axe des temps et où cette translation apparaîtra sous la forme d’un déphasage. Cette nouvelle écriture s'obtient en posant : An = Cn sin n B = C cos   n n n ainsi, en remplaçant An et Bn dans : s(t) = S0 +  An n=1  cos(nω0t ) +Bn sin (nω0t )  s(t) = S0 +Cn  sin n n=1 cos(nω0t ) + cos n sin (nω0t )   S = 1 s(t) dt 0 T  0 (T0 ) A n = 2 T  s(t) cos(n ω t )dt 0 0 (t0 ) B n = 2 T  s(t) sin (n ω t )dt 0 0 (T0 ) Chapitre 2 s(t) = S0 +  An cos(nω0 t ) +Bn sin (nω0 t )   n=1  avec !! Attention !! Si l’on intervertit la place des paramètres Bn et An (An devant sin et Bn devant cos) dans la décomposition en série de Fourier, il ne faut pas oublier de les intervertir dans la uploads/Sante/ note-cours-ts-iia2-imi2-en-ligne.pdf