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[ Corrigé du baccalauréat S Polynésie 14 juin 2017 \ EXERCICE 1 6 points Commun

[ Corrigé du baccalauréat S Polynésie 14 juin 2017 \ EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mo- bile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difﬁculté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance télépho- nique : le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur. Les parties A, B et C sont indépendantes. Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10−3. Partie A - Durée d’attente 1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D1 qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6. a. Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui ap- pelle cette ligne d’assistance? Solution : D1 suit la loi exponentielle de paramètre λ1 = 0,6 donc E (D1) = 1 λ1 = 1 0,6 = 5 3 Donc la durée moyenne d’attente espérée par un client internet est de 1 minute et 40 secondes b. Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes. Solution : On cherche p (D1 < 5) p (D1 < 5) = Z5 0 0,6e−0,6t dt = £ −e−0,6t¤5 0 = 1−e−3 ≈0,95 2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’at- tente en minutes par la variable aléatoire D2 qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, λ étant un réel strictement positif. a. Sachant que P (D2 ⩽4) = 0,798, déterminer la valeur de λ. Solution : On a p (D2 ⩽4) = 0,798 or p (D2 ⩽4) = Z4 0 λe−λt dt = £ −e−λt¤4 0 = 1−e−4λ On a alors 1−e−4λ = 0,798 ⇐ ⇒e−4λ = 0,202 ⇐ ⇒−4λ = ln(0,202) ⇐ ⇒ λ = −ln(0,202) 4 ≈0,4 b. En prenant λ = 0,4, peut-on considérer que moins de 10 % des clients mobile choi- sis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur? Solution : p (D2 > 5) = 1 −p (D2 ⩽5) = 1− Z5 0 0,4e−0,4t dt = 1 − £ −e−0,4t¤5 0 = 1 − ¡ 1−e−2¢ = e−2 ≈0,135 Donc on peut considérer qu’au moins 10% des clients mobile attendent plus de 5 minutes Partie B - Obtention d’un opérateur Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse 5 minutes, l’appel prend auto- matiquement ﬁn. Sinon, l’appelant obtient un opérateur. On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance. On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est 0,7. De plus, d’après la partie A, on prend les données suivantes : Si l’appel provient d’un client Internet alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,95. Si l’appel provient d’un client mobile alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,87. 1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur. Solution : On nomme les évènements suivants : — I : « Le client qui appelle est un client internet » — M : « Le client qui appelle est un client mobile » — A : « Le client obtient un opérateur » avec ces notations, l’énoncé nous donne p(I) = 0,7 , pI(A) = 0,95 et pM(A) = 0,87 On en déduit p(M) = p ³ I ´ = 1−p(I) = 0,3 On peut bâtir l’arbre suivant : b I 0,7 A 0,95 A 0,05 M 0,3 A 0,87 A 0,13 On cherche p(A) M et I forment une partition de l’univers donc d’après le probabilités totales on a p(A) = p(A ∩I)+ p(A ∩M) = p(I)× pI(A)+ p(M)× pM(A) = 0,665+0,261 = 0,926. Donc la probabilité que le client obtienne un opérateur est d’environ 0,926. 2. Un client se plaint que son appel a pris ﬁn après 5 minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile? Solution : On veut comparer p A(I) et p A(M) p A(I) = p ³ I ∩A ´ p ³ A ´ = 0,7×0,05 1−p(A) = 0,035 0,074 ≈0,473 et p A(M) = p A ³ I ´ = 1−p A(I) ≈0,527 Il est donc plus probable que le client soit un client mobile Page 2 Partie C - Enquête de satisfaction La société annonce un taux de satisfaction de 85 % pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur. Une association de consommateurs souhaite vériﬁer ce taux et interroge 1 303 personnes. Parmi celles-ci, 1 150 se disent satisfaites. Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société? Solution : L’échantillon est de taille n = 1303, la proportion supposée de client satisfait dans la population est p = 0,85 On a n ⩾30 , np ⩾5 et n(1−p) ⩾5, on peut donc bâtir l’intervalle de ﬂuctuation asymp- totique au seuil de 95% I = " p −1,96 p p(1−p) pn ; p +1,96 p p(1−p) pn # p −1,96 p p(1−p) pn ≈0,831 et p −1,96 p p(1−p) pn ≈0,869 or la fréquence observée de personnes satisfaites sur l’échantillon est f = 1150 1303 ≈0,883 f ∉I on peut donc remettre en cause l’afﬁrmation de la société au risque de 5% de se tromper. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats R R α h R ℓ Dans un disque en carton de rayon R , on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords aﬁn de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α pour obtenir un cône de volume maximal. On appelle ℓle rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur. On rappelle que : — le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire A et de hauteur h est 1 3A h. — la longueur d’un arc de cercle de rayon r et d’angle θ, exprimé en radians, est rθ. 1. On choisit R = 20 cm. a. Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, estV (h) = 1 3π ¡ 400−h2¢ h. Solution : h R ℓ D’après le théorème de Pythagore on a ℓ2 +h2 = R2 d’où ℓ2 = R2 −h2 = 400−h2 La base du cône est de rayon ℓdonc son volume est V = 1 3πℓ2h On a donc bien V (h) = 1 3π ¡ 400−h2¢ h = π 3 ¡ 400h −h3¢ Page 3 b. Justiﬁer qu’il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur. Solution : De manière évidente on a 0 < h < R donc ici h ∈]0 ; 20[ V (h) = π 3 ¡ 400h −h3¢ est un polynôme dérivable sur R donc sur ]0 ; 20[ ∀h ∈]0 ; 20[ , V ′(h) = π 3 ¡ 400−3h2¢ = π 3 ¡ 20−h p 3 ¢¡ 20+h p 3 ¢ v′(h) est du signe de ¡ 20−h p 3 ¢ sur ]0 ; 20[ car π 3 ¡ 20+h p 3 ¢ > 0 Les variations de V sont donc données par le tableau suivant : h 0 20 p 3 3 20 V ′(h) + 0 - 0 M 0 V (h) V (h) admet donc un maximum en h = 20 p 3 3 ce maximum est M = V Ã 20 p 3 3 ! = π 3 Ã 400×20 p 3 3 −203 × p 3 3 33 ! = π 3 Ã 8000 p 3 3 −8000 p 3 9 ! = 16000π p 3 27 ≈3224,5 c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum? Donner un arrondi de α au degré près. Solution : Le volume est maximal si h = 20 p 3 3 donc h2 = 400 3 on en déduit ℓ2 = R2 −h2 = 400−400 3 = 800 3 ℓ= r 800 3 = 20 p 2 p 3 = 20 p 6 3 Or ℓreprésente le rayon de la base du cône. Le périmètre de cette base est donc 2πℓ= 40π p 6 3 ce périmètre correspond à la longueur d’arc de cercle restant après le découpage du disque initial. On a donc 2πR −Rα = 40π p 6 3 soit α = 2π−2π p 6 3 = 2π Ã 3− p 6 3 ! radians soit α ≈ 66° Donc il faut découper un secteur angulaire d’angle environ égal à 66° pour obtenir le cône de volume maximal Page 4 2. L’angle α dépend-il du rayon R uploads/Societe et culture/ corrige-s-polyne-sie-14-juin-2017-ad.pdf