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Tdc1 E ?cole Normale Supe ?rieure Anne ?e - TD G ?en ?eralit ?es sur les groupes ere anne ?e Algebre Exercices apr ?eparera la maison avant le TD seront corrig ?es en d ?ebut de TD Exercices seront trait ?es en classe en priorit ?e Exercices plus di ?cile

E ?cole Normale Supe ?rieure Anne ?e - TD G ?en ?eralit ?es sur les groupes ere anne ?e Algebre Exercices apr ?eparera la maison avant le TD seront corrig ?es en d ?ebut de TD Exercices seront trait ?es en classe en priorit ?e Exercices plus di ?ciles Exercice Soit E un ensemble muni d ? une loi de composition associative avec ?el ?ement neutre e et telle que tout ?el ?ement de E possede un inversea gauche Montrer que tout ?el ?ement de E possede un inversea droite qui co ? ncide avec son inverse agauche En d ?eduire que E est un groupe Solution de l ? exercice Soit g ?? E Par hypothese il existe h ?? E tel que h g e De m eme il existe k ?? E tel que k h e L ? associativit ?e assure alors que g k h g k h g k donc g h e donc h est aussi inverse adroite de g Par cons ?equent tout ?el ?ement de E admet un inverse a droite et agauche donc E est un groupe Exercice Soit G un groupe tel que g e pour tout g ?? G Montrer que G est ab ?elien Solution de l ? exercice Pour tous g h ?? G on a g h e i e g h g h e donc en multiplianta droite par h g on a g h h g i e G est commutatif Exercice Soit G un groupe et soit H un sous-ensemble ?ni non vide de G stable pour la loi de composition du groupe G a Montrer que H est un sous-groupe de G b Trouver un exemple d ? un groupe G et d ? un sous- ensemble non vide de G stable pour la loi de composition du groupe G qui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l ? exercice a Soit h ?? H Comme H est ?ni et hn ?? H pour tout n ?? N il existe deux entiers n m ? tels que hn hm Or h admet un inverse dans G donc on en d ?eduit l ? ?egalit ?e suivante de G hn ??m e Or H est stable par multiplication donc e ?? H et h ?? hn ??m ?? ?? H donc H est stable par inverse Cela assure que H est un sous-groupe de G b On peut prendre G Z et H N Exercice Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G d ? indice Montrer que H est distingu ?e dans G Solution de l ? exercice Les classes a gauche de G modulo H sont H G H Donc les classesa droite de G modulo H sont H G H Si g ?? H on a donc g H G H H g ce qui assure le r ?esultat Exercice Soit G un groupe ?ni a Montrer que des ?el ?ements conjugu ?es