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Exercices arithmetique1 Exercices corrigés Arithmétiques dans Z Exercice Division Euclidienne Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est et le reste Correction On a q ? b ??

Exercices corrigés Arithmétiques dans Z Exercice Division Euclidienne Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est et le reste Correction On a q ? b ?? q ? b ?? Cherchons les diviseurs de et Ce sont les seules valeurs possibles de q et b Exercice Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de Déterminer les entiers relatifs n tels que n ?? divise Déterminer les entiers relatifs n tels que n ?? divise n Déterminer les entiers relatifs n tels que n divise n ?? Correction L'ensemble des diviseurs de est D ?? ?? ?? ?? n ?? divise si n ?? appartient à D soit si n appartient à D ?? On peut remarquer que n n ?? Puisqu'il est évident que n ?? divise n ?? le résultat du permet alors d'a ?rmer que si n ?? divise n alors n ?? divise n ?? n ?? c'est-à- dire n ?? divise Réciproquement si n ?? divise alors n ?? divise n ?? c'est-à-dire n ?? divise n On a donc démontré que n ?? divise n si et seulement si n ?? divise On peut raisonner en utilisant le même principe qu'à la question précédente On remarque que n ?? n ?? et puisqu'il est immédiat que n divise n on peut écrire - si n divise n ?? alors n divise n ?? ?? n c'est-à-dire n divise ?? réciproquement si n divise ?? alors n divise ?? n c'est-à-dire n divise n ?? L'ensemble des diviseurs de ?? ou de étant ?? ?? on en déduit que n divise n ?? si et seulement si n appartient à ?? ?? soit n appartient à ?? ?? Exercice Trouvez le PGCD des nombres et en utilisant la décomposition en facteurs premiers puis en utilisant l ? algorithme d ? Euclide Correction Avec l ? aide de Maple on a immédiatement ifactor ifactor et le PGCD Avec Euclide ? donc ? ? Exercice Quel est le reste de la division par du nombre Correction Le reste de dans la division par est donne donne soit comme on a ?? ?? ?? ?? Le reste est donc ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA Page CExercice Déterminer les restes de la division de p par pour p entier naturel En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à le nombre N n n ?? est divisible par Correction p p p ?? ou p ?? ou p donc pour p k le reste est pour p k le reste est pour p k le reste est ou ?? pour p k le reste est ou ?? N n n ?? ? ?? et ? ?? on a donc F F F EE F FBF F F EEF F N n n ?? ?? n n ?? ?? n n' F FBF F ?? ?? Exercice Pour chacune des cinq propositions suivantes indiquer si elle