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Espaces hermitiens L3 alg` ebre et g´ eom´ etrie Exercice 1 Pour x = (x1, x2, x

Espaces hermitiens L3 alg` ebre et g´ eom´ etrie Exercice 1 Pour x = (x1, x2, x3) ∈C3, on d´ eﬁnit : q(x) = |x1|2 + 3|x2|2 + 6|x3|2 + ix1x2 −ix1x2 + 2ix2x3 −2ix2x3. 1. V´ eriﬁer qu’il existe une forme hermitienne f sur C3 telle que q(x) = f(x, x), et ´ ecrire la matrice de f dans la base canonique 2. Montrer que f est un produit scalaire hermitien. (On pourra d´ ecomposer q en carr´ es de modules en s’inspirant de l’algorithme de Gauss). 3. Construire une base orthogonale de C3 pour ce produit scalaire hermitien. Exercice 2 Soit E un espace vectoriel complexe. D´ eterminer le rang et la signature des formes quadratiques hermitiennes sur E suivantes : 1. E = C3, et q(x, y, z) = xx −ixy + iyx −xz −zx + 2yy −2iyz + 2izy + zz. 2. E = C3 et q(x, y, z) = xy + yx + ixz −izx + (1 + i)yz + (1 −i)zy. 3. E = Mn(C) et q(A) = tr(AA). Exercice 3 Dans C3 muni de sa structure hermitienne standard, on note F le plan d’´ equation x1 −x2 + ix3 = 0. D´ eterminer l’orthogonal F ⊥. Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique. Trouver une base orthogonale de F. Exercice 4 Soit E un espace hermitien et f ∈L(E) tel que pour tout x ∈E l’on ait ⟨f(x)|x⟩= 0. Montrer que f est nul. Que penser de l’´ enonc´ e analogue sur un espace euclidien ? Exercice 5 Est-ce que l’ensemble des matrices hermitiennes forme un sous-C-espace vectoriel de Mn(C) ? Montrer qu’elles forment un sous-espace vectoriel r´ eel, et calculer la dimension (sur R) de ce sous-espace. Exercice 6 Soit A =   4 i −i −i 4 1 i 1 4  . Trouver une matrice unitaire U et une matrice diagonale D telle que D = U −1AU. Mˆ eme question avec B =   1 0 i 0 1 −1 −i −1 1   1 Exercice 7 Soit A ∈Mn(C). On pose U = Re(A), V = Im(A) et C = [U −V V U ] (on a donc C ∈M2n(R)). 1. Montrer que A est hermitienne d´ eﬁnie positive ssi C est sym´ etrique d´ eﬁnie positive. 2. Montrer que A est unitaire ssi C est orthogonale. Exercice 8 Soit U une matrice unitaire de taille 2 et de d´ eterminant 1. Montrer qu’il existe des nombres complexes α et β avec |α|2 + |β|2 = 1 tels que U = [ α −β β α ] . Exercice 9 Soit H ∈Mn(C) une matrice hermitienne positive. Pour tout 1 ⩽k ⩽n, on note Hk la matrice « tronqu´ ee » constitu´ ee des k premi` eres lignes et k premi` eres colonnes. Montrer que pour tout 1 ⩽k ⩽n, la matrice Hk est encore hermitienne positive et que detHk ⩾0. Exercice 10 1. Soit H ∈Mn(C) une matrice hermitienne positive. Montrer qu’il existe une unique matrice hermitienne positive R telle que H = R2. On dit alors que R est la racine carr´ ee de H. 2. Soit A in GLn(C). Montrer qu’il existe un unique couple de matrices (U, H) avec U unitaire et H hermitienne positive tel que l’on ait A = UH. Cette d´ ecomposition s’appelle la d´ ecomposition polaire de A. [Indication : Raisonner par condition n´ ecessaire et montrer que si de tels U et H existent alors H est la racine carr´ ee de A∗A.] 2 uploads/s3/ devoir-2-math-202.pdf