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Équations de Navier-Stokes équations fondamentales en mécanique des fluides En

Équations de Navier-Stokes équations fondamentales en mécanique des fluides En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent le mouvement des fluides newtoniens (donc des gaz et de la majeure partie des liquides[a]). La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase est difficile, et l'existence mathématique de solutions des équations de Navier-Stokes n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent, par une résolution approchée, de proposer une modélisation de nombreux phénomènes, comme les courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'atmosphère pour les météorologistes, le comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et les ingénieurs, ou encore celui des avions, des trains ou des voitures à grande vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, ainsi que l'écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides. Ces équations sont nommées ainsi pour honorer les travaux de deux scientifiques du xixe siècle : le mathématicien et ingénieur des Ponts Henri Navier, qui le premier a introduit la notion de viscosité dans les équations d'Euler en 1822[1], et le physicien George Gabriel Stokes, qui a donné sa forme définitive à l'équation de conservation de la quantité de mouvement en 1845[2],[3]. Entre-temps, divers scientifiques ont contribué à l'avancement du sujet : Augustin Louis Cauchy[4] et Siméon Denis Poisson en 1829[5] et Adhémar Barré de Saint-Venant en 1843. Pour un gaz peu dense, il est possible de trouver une solution approchée de l’équation de Boltzmann, décrivant le comportement statistique des particules dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Ainsi, la méthode de Chapman-Enskog, due à Sydney Chapman et David Enskog en 1916 et 1917, permet de généraliser les équations de Navier-Stokes à un milieu comportant plusieurs espèces et de calculer l'expression des flux de masse (équations de Stefan-Maxwell incluant l'effet Soret), de quantité de mouvement (en donnant l'expression du tenseur de pression) et d'énergie en montrant l'existence de l'effet Dufour. Cette méthode permet également de calculer les coefficients de transport à partir des potentiels d'interaction moléculaires. La résolution mathématiquement rigoureuse des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire. Cet article décrit diverses variantes des équations valables pour des milieux de composition homogène, les problèmes liés à la diffusion et aux réactions chimiques n'y sont pas Léonard de Vinci : écoulement dans une fontaine abordés[6]. Notations et relations utilisées On utilise les notations conformes à la norme ISO/CEI 80000-2[7] Les caractères en gras sans serif comme désignent des tenseurs. est l'opérateur nabla exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. est l'opérateur gradient exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. est l'opérateur divergence exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. désigne l'opérateur rotationnel exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. Il est parfois noté . est l'opérateur laplacien exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. est le laplacien vectoriel, soit le vecteur dont chaque composante est le laplacien de la même composante de . Note : diffère de . Toutefois, ne prête plus à confusion. Le produit dyadique de deux vecteurs s'écrit où × est le produit matriciel. Le produit doublement contracté : est l'opérateur défini par : où Tr représente l'opérateur trace. Lois de conservation Quelques identités vectorielles utiles pour cet article (les deux dernières généralisent la notion de divergence aux tenseurs de rang deux) : Loi de conservation Article détaillé : Équation de conservation. On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive de densité ϕ entraînée à la vitesse et comportant un terme de production volumique S par : . Formulation eulérienne La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes. On obtient les équations de Navier-Stokes en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique ρ, à la quantité de mouvement et à l'énergie totale ρ E[8]. Équation de continuité (équation de bilan de la masse) Équation de bilan de la quantité de mouvement Équation de bilan de l'énergie Dans ces équations : t représente le temps (unité SI : s) ; ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg m−3) ; désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m s−1) ; désigne le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression) qui, si on néglige le rayonnement, se décompose en : ; désigne le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ; désigne le tenseur unité ; p désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ; désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : m s−2) ; E désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI : J kg−1) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne par unité de masse e par : ; désigne le flux de chaleur dû à la conduction thermique (unité SI : J m−2 s−1) ; désigne le flux de chaleur dû au rayonnement (unité SI : J m−2 s−1). Afin de clore le système il est nécessaire de décrire p, Σ, et à partir d'hypothèses sur le fluide considéré. est quant à lui l'objet d'un calcul de transfert radiatif éventuellement couplé à la résolution des équations de Navier-Stokes. Quelques variations autour du système d'équations On peut exprimer différemment l'équation de quantité de mouvement en remarquant que : . Démonstration é L 'équation alors obtenue s'interprète comme la deuxième loi de Newton, en remarquant que le terme décrit l’accélération des particules du fluide. Il est possible d'exprimer la conservation de l'énergie sous forme équivalente en transférant au premier membre le terme correspondant à la pression : . Le terme ρ E + p peut être remplacé par où h = e + p ρ est l'enthalpie massique. En multipliant scalairement l'équation de quantité de mouvement écrite comme ci-dessus par la vitesse on obtient une loi de conservation pour l'énergie cinétique : . En soustrayant cette équation de l'équation de conservation de l'énergie, en utilisant l'équation de conservation de la masse et l'identité , on obtient l'équation suivante sur l'énergie interne par unité de masse : . Formulation lagrangienne Dans certains problèmes le domaine occupé par le fluide peut varier considérablement au cours du temps. Il s'agit donc de problèmes instationnaires. C'est le cas dans les problèmes d'explosion ou en astrophysique. On fait alors appel aux variables lagrangiennes définies dans le repère noté ξ. L 'accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire : . Le dernier terme de cette équation est le terme d'advection de la quantité ϕ. Celle-ci peut être scalaire, vectorielle ou tensorielle. Pour la quantité de mouvement, la dérivée particulaire vaut : . Les équations de conservation dans le système de coordonnées définies par s'écrivent : Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse) Équation de bilan de la quantité de mouvement Équation de bilan de l'énergie Expressions dans des systèmes de coordonnées En utilisant l'expression des opérateurs dans les divers systèmes courants de coordonnées il est possible de détailler les expressions des équations. Expressions des équations en compressible dans divers systèmes de coordonnées Expression en coordonnées cartésiennes Expression en coordonnées cylindriques Expression en coordonnées sphériques En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse du fluide newtonien). μ désigne la viscosité dynamique du fluide (unité : Poiseuille (Pl) = Pa s = N m−2 s.) μ' désigne la seconde viscosité (ou viscosité volumique, en anglais volume viscosity) du fluide (unité : Poiseuille (Pl) = Pa s = N m−2 s). Ces coefficients dépendent en général de la masse volumique et de la température thermodynamique, comme au paragraphe suivant. Avec l'expression du tenseur des contraintes visqueuses, l'équation de quantité de mouvement prend la forme : . En supposant que les variations spatiales de et sont négligeables, on obtient , dont on déduit On utilise généralement l'hypothèse de Stokes pour relier la viscosité dynamique à la seconde viscosité : . Fluide newtonien, hypothèse de Stokes L 'hypothèse de Stokes est vraie pour les gaz monoatomiques. Elle constitue une bonne approximation pour des fluides simples comme l'eau et l'air[9]. A contrario, de nombreux fluides complexes, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas l'hypothèse du fluide newtonien. On recourt alors à d'autres lois de comportement visqueux, dites non newtoniennes (par exemple la loi du fluide de Bingham). La science qui étudie les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides est la rhéologie. Le système décrit ci-dessus est incomplet puisqu'il comporte 3 équations (dont une vectorielle) pour 5 inconnues (dont deux vectorielles) : (si l'on néglige le flux de chaleur dû au rayonnement, ). On ajoute pour fermer le système des équations d'état de la forme où T représente uploads/s3/ equations-de-navier-stokes-wikipedia 1 .pdf