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- 14 - CHAPITRE 3 DEVELOPPEMENTS LIMITES Le but de ce chapitre est de montrer q

- 14 - CHAPITRE 3 DEVELOPPEMENTS LIMITES Le but de ce chapitre est de montrer que certaines fonctions usuelles peuvent être approchées localement par des fonctions polynomiales. I- Développement limité au voisinage de 0: Définition: Soit f une fonction définie au voisinage de 0 sauf peut-être en 0. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0, et on note n 0 DL , s’il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à n ,  2 0 1 2 n n n P x a a x a x a x      tel que x 0 V     n n f x P x x x    avec  0 lim 0 x x    . La partie polynomiale  n P x s’appelle la partie régulière ou partie principale du DL et  n x x  s’appelle le reste ou le terme complémentaire. Théorème: Si f admet un n 0 DL alors il est unique. Condition suffisante d’existence d’un DL: Si f est définie sur un voisinage de 0 et si f est n fois dérivable en 0 alors f admet un n 0 DL donné par la formule suivante dite formule de Maclaurin Young :       2 ' '' 0 0 0 0 1! 2! ! n n n x x x f x f f f f x x n        avec  0 lim 0 x x    . Ceci nous donne les n 0 DL suivants des fonctions usuelles.  2 1 1 1-x n n x x x x x          2 1 1 1 1+x n n n x x x x x        2 1 2! ! n x n x x e x x x n            2 1 ln 1 1 2 n n n x x x x x x n            2 ln 1 2 n n x x x x x x n                 2 1 1 1 1 1 2! ! n n x x x x n x x n                 II- Opérations sur les DL: a- DL d’une somme: Si    n n f x P x x x    et    n n g x Q x x x    alors          n n n f x g x P x Q x x x      - 15 - Exemple: Soit    ln 1 x f x e x    . 3 0 DL f ?  2 3 3 1 2 3! x x x e x x x      et    2 3 3 ln 1 2 3 x x x x x x       Par suite,   3 3 1 2 2 x f x x x x     b- DL d’un produit: Si    n n f x P x x x    et    n n g x Q x x x    alors     n n fg x H x x x    où  n H x est obtenue en faisant le produit de  n P x par  n Q x et en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n . Exemple: Soit    ln 1 x f x e x   . 2 0 DL f ?  2 2 1 2 x x e x x x     et    2 2 ln 1 2 x x x x x      Par suite,   2 2 2 x f x x x x     c- DL d’un quotient: Si    n n f x P x x x    et    n n g x Q x x x    et g ne s’annule pas au voisinage de 0 alors    n n f x H x x x g          où  n H x est obtenue en faisant la division suivant les puissances croissantes de x de  n P x par  n Q x . Exemple: Soit    ln 1 x x f x e   . 2 0 DL f ?   2 2 3 2 f x x x x x     d- DL d’une fonction composée: Si    n n f x P x x x    où  2 0 1 2 n n n P x a a x a x a x      et    n n g x Q x x x    où  2 1 2 n n n Q x b x b x b x     alors           2 0 1 2 n n n n n n fog x a aQ x a Q x a Q x x x        où dans ( ( ))k n Q x on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à n . Exemple:  Soit  x f x e  . 2 0 DL f ? On a  2 2 1 2 x x e x x x     . On pose  2 2 2 x u x x x     - 16 - Par suite,  f x = 1 u  =  2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 u u u u            =  2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 2 x x x x x x                   =  2 2 1 1 1 2 8 x x x x      Soit    2 ln 1 f x x x    . 2 0 DL f ? On a 2 2 x x x x    . On pose 2 u x x   Par suite, ( ) f x =   1 Ln u  = 2 2 ( ) 2 u u u u    =  2 2 2 x x x x    III- Développement limité au voisinage de 0 x et : Définition:  Soit f une fonction définie au voisinage de 0 x , sauf peut-être en 0 x . On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 x , et on note 0 n x DL , s’il existe 0 1 , , , n a a a IR  tels que          0 1 0 0 0 0 n n n f x a a x x a x x x x x x           avec   0 0 lim 0 x x x x     . Dans la pratique, pour étudier un 0 x DL on pose 0 u x x   et on est ramené à un 0 DL d’une fonction en u . Remarque: Si f est définie sur un voisinage de 0 x et si f est n fois dérivable en 0 x alors f admet un 0 n x DL donné par la formule suivante dite formule de Taylor Young :                   2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' " 1! 2! ! n n n x x x x x x f x f x f x f x f x x x x x n              Soit uploads/S4/ developpements-limites.pdf