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Benjamin Legros Professeur à l'ESG Management School manuel Mathématiques finan

Benjamin Legros Professeur à l'ESG Management School manuel Mathématiques financières Cours + Exos mini de © Dunod, Paris, 2011 ISBN 978-2-10-056605-1 DANS LA MÊME COLLECTION Collain B., Déjean F., LeTheule M.-A., Mini Manuel de Comptabilité, 2011 Legros B., Mini Manuel de Mathématiques pour la gestion, 2011. Legros G., Mini Manuel de Finance d’entreprise, 2010. Kruger A., Ferrandi J.-M., Ingarao A., Carpentier L., Mini Manuel de Marketing, 2010. Partie 1 Les modèles financiers 1 Études de suites 3 1.1 Suites arithmétiques 4 1.2 Suites géométriques 8 1.3 Suites arithmético-géométriques 12 Points clefs 14 Exercices 15 Solutions 17 2 Les intérêts simples et l’escompte 23 2.1 Mode de calcul des intérêts simples 24 2.2 Placements de courtes durées 25 2.3 Versements constants 29 2.4 Calcul du taux moyen 31 2.5 Exemples de livrets d’épargne 32 2.6 L’effet de commerce et l’escompte 33 2.7 Calcul de l’escompte 34 2.8 Équivalence de capitaux 35 2.9 Intérêts précomptés 36 Points clefs 38 Exercices 40 Solutions 43 Table des matières 3 Les intérêts composés 55 3.1 Calcul des intérêts composés 55 3.2 Taux proportionnels et taux équivalents 59 3.3 Versements constants 60 Points clefs 68 Exercices 69 Solutions 71 4 Emprunts indivis 85 4.1 Principe général 86 4.2 Modes de remboursement classiques 92 4.3 Remboursements évolutifs 98 Points clefs 102 Exercices 104 Solutions 106 Partie 2 Les projets d’investissement 5 Outils d’évaluation d’un investissement 119 5.1 Éléments d’analyse d’un projet d’investissement 119 5.2 Comparaison de deux projets d’investissement 127 5.3 Prise de décision en avenir incertain 130 Points clefs 134 Exercices 135 Solutions 137 6 Emprunts obligataires 145 6.1 Principe de fonctionnement 146 6.2 Tableaux d’amortissement pour les obligations à taux fixe 151 6.3 Analyse du risque 157 Points clefs 160 Exercices 162 Solutions 163 VI Table des matières 7 Valeur des actions 171 7.1 Mode d’évaluation 172 7.2 Risque et rentabilité 177 Points clefs 181 Exercices 182 Solutions 184 Index 189 Table des matières VII La page d’entrée de chapitre Elle donne le plan du cours, ainsi qu’un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre. Le cours Le cours, concis et structuré, expose les notions importantes du programme. Les rubriques Une erreur à éviter Un peu de méthode Les points clefs à retenir Les exercices Ils sont proposés en fin de chapitre, avec leur solution, pour se tester tout au long de l’année. Comment utiliser le Mini Manuel ? − Études de suites .............................................................. 3 Les intérêts simples et l’escompte .............................23 Les intérêts composés ................................................ 55 Emprunts indivis .......................................................... 85 1 PARTIE Les modèles financiers Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Comment évaluer un placement financier ? Que représente un gain à venir dans le bilan d’une entreprise ? Que représente un taux d’intérêt ? Quels mécanismes déterminent un emprunt ? La première partie de cet ouvrage a vocation à modéliser les aspects essentiels du calcul financier.Les modèles présentés sont appliqués des différents points de vue du particulier, de l’entreprise ou de la banque. Le premier chapitre « Les suites » est le fondement mathématique nécessaire à la compréhension des formules de la finance.Ses résultats mathématiques vont se trouver dans l’ensemble du livre. Le second chapitre « Intérêts simples et Escompte » permet d’estimer les place- ments de durées courtes sur des comptes réglementés du type Livret A. Il permet aussi d’appréhender le fonctionnement de l’escompte pour les entreprises. Le troisième chapitre « Intérêts composés » présente le calcul des placements de longues durées et de l’actualisation. Une application essentielle de ce chapitre est le calcul des rentes qui permet de concevoir le fonctionnement d’une retraite par capitalisation. Le quatrième chapitre « Emprunts Indivis » modélise les échanges financiers entre le préteur et l’emprunteur avec une mise en place des aspects comptables de l’emprunt. Considérons la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11... On devine assez simplement le terme suivant : 14. On a observé un ajout de 3 pour calculer un terme à partir du précédent et l’on a conclu que le phénomène allait se poursuivre ensuite. Un autre exemple : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13... Le phénomène est moins simple ici. On remarque qu’un terme est égal à la somme des deux précédents. Ainsi le terme suivant sera 21 et il est possible de calculer l’ensemble des termes qui suivent. Ces exemples peuvent sembler gratuits, mais ils démontrent tout l’inté- rêt des suites : le caractère prédictif. Ce caractère prédictif est essentiel en finance. En effet, qu’il s’agisse du remboursement d’un emprunt ou de gains réalisés par un placement, l’important est de pouvoir chiffrer au mieux les mouvements de capitaux à venir. Les suites se trouvent donc dans l’ensemble des thèmes abordés dans cet ouvrage. Ce chapitre pré- sente les résultats essentiels sur les suites les plus utilisées en finance : les suites arithmétiques et les suites géométriques. 1 CHAPITRE Études de suites 1.1 Suites arithmétiques 1.2 Suites géométriques 1.3 Suites arithmético-géométriques PLAN ➤Savoir définir une suite arithmétique et une suite géométrique. ➤Trouver la raison et le terme général d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique. ➤Connaître la formule de la somme des termes d’une suite. ➤Comprendre le fonctionnement des suites arithmético-géométriques. ➤Utiliser le logarithme lors d’une recherche de durée. ➤Modéliser un phénomène par une suite arithmétique ou une suite géo- métrique. OBJECTIFS 1.1 SUITES ARITHMÉTIQUES a) Définition d’une suite arithmétique Considérons la suite 2 ; 4 ; 6 ; 8... On observe un ajout de 2 pour calculer un terme à partir du précédent. 4 Chapitre 1 • Études de suites + 2 + 2 + 2 + 2 2 4 6 8 10 Ce nombre qui permet de calculer un terme à partir du précédent s’ap- pelle la raison de la suite arithmétique. La notation d’usage de la rai- son d’une suite arithmétique est r. Formalisons le phénomène en notant u0 le premier terme, u1 le second, u2 le troisième et ainsi de suite. On calcule un terme à partir du précé- dent selon le schéma suivant : + r + r + r + r 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u Ainsi, la définition d’une suite arithmétique est donnée par la relation : un+1 = un + r Cette relation suffit complètement à définir une suite arithmétique si l’on dispose d’un des termes de la suite. Dans l’exemple précédent, la connaissance de « u0 = 2 » et de la relation « un+1 = un + 2 » permet de calculer pas à pas l’ensemble des termes de la suite. b) Comment calculer simplement un terme d’une suite arithmétique ? La relation précédente ne permet pas de calculer rapidement un terme d’une suite arithmétique. Si l’on souhaite calculer le 50e terme, il est nécessaire de connaître le 49e qui, lui-même, se calcule à partir du 48e et ainsi de suite. Ainsi, pour atteindre le 50e terme, il sera nécessaire d’effectuer un grand nombre de calculs. C’est pour cela qu’il est essen- tiel de mettre en place une formule générale qui fournit n’importe quel terme indépendamment du précédent. Pour construire cette formule, on peut partir de la définition suivante pour calculer u1 : u1 = u0 + r De même pour calculer u2 : u2 = u1 + r = (u0 + r) + r = u0 + 2 × r Puis : u3 = u2 + r = (u0 + 2 × r) + r = u0 + 3 × r Ces premiers résultats induisent une formule générale : un = u0 + n × r Remarque : la démarche présentée induit la formule mais n’a pas valeur de démonstration mathématique. Une démonstration rigoureuse utilise- rait le principe de récurrence. Si l’on ne dispose pas du terme u0 mais d’un autre terme uk, le terme général d’une suite arithmétique est donné par la relation suivante : un = uk + (n −k) × r Exemple Cherchons le terme général de la suite arithmétique de raison 3 sachant que u5 = 22. Par application de la formule précédente avec k = 5, on trouve : un = u5 + (n −5) × 3 = 22 + (n −5) × 3 = 22 + 3 × n −15 = 7 + 3 × n c) Représentation graphique et sens de variation Les termes successifs d’une suite arithmétique peuvent être représentés graphiquement. Les points représentés sont alignés sur une droite de pente r et d’ordonnée à l’origine u0. 1.1 • Suites arithmétiques 5 Les modèles financiers 1 Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend de sa raison : – Si r > 0 la suite est croissante. – Si r < 0 la suite est décroissante. – Si r = 0 la suite est constante. d) Somme des termes d’une suite arithmétique On peut chercher à cumuler les termes d’une suite. Ce calcul a un inté- rêt dès que l’on souhaite cumuler des valeurs. On cherche à calculer : S = u0 + u1 + u2 + · · · + un En écrivant cette somme « à uploads/Finance/ mini-manuel-de-mathacmatiques-financia-res-2ed.pdf