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1 Jean-Pierre Petit à Mr. T.Damour Monsieur, Complétant mon envoi précédent vou

1 Jean-Pierre Petit à Mr. T.Damour Monsieur, Complétant mon envoi précédent vous trouverez ci-joint un développement détaillé de ce que j’ai présenté en mars 2019 dans la revue Progress in Physics sous le titre « Physical and Mathematical consistency of the Janus Cosmological Model » [14] . Résumé : En janvier 2019 Thibaud Damour a publié sur sa page du site de l’IHES une analyse critique du système équations de champ Janus de 2015 : R(+) µ ν −R(+)δ µ ν = T(+) µ ν + g(−) g(+) T(−) µ ν R(−) µ ν −R(−)δ µ ν = − g(+) g(−) T(+) µ ν + T(−) µ ν ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ De par la structure des premiers membres ces équations doivent satisfaire les équations de Bianchi. Nous savions de longue date que les termes g(−) g(+) T(−) µ ν et g(+) g(−) T(+) µ ν qui traduisent ce qu’on pourrait appellerons « effet de géométrie induite » c’est à dire comment la distribution des masses négative modifie la géométrie du premier « secteur » associé à la métrique et comment la distribution des masses positives intervient, inversement, sur la géométrie des masses positives, associées à la métrique. Le choix de la forme de ces termes est totalement arbitraire, libre. Personne ne sait comment ces entités interagissent. Toujours est-il que les équations, quel que soit le choix opéré, doivent satisfaire ces conditions de Bianchi, par simple souci de cohérence mathématique. Le choix les la forme de ces tenseurs selon : T(+) µ ν = ρ(+) 0 0 0 0 −p(+) c2 0 0 0 0 −p(+) c2 0 0 0 0 −p(+) c2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ T(−) µ ν = ρ(−) 0 0 0 0 −p(−) c2 0 0 0 0 −p(−) c2 0 0 0 0 −p(−) c2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 peut semble logique. Mais le détail du calcul, avec des métriques stationnaires, conduit à une incohérence. Damour choisit une situation où il s’agit de la géométrie liée à la présence d’une masse de densité constante , entourée de vide. Même si on se situe dans le cadre d’une approximation Newtonienne cette satisfaction des équations de Bianchi se traduit en effet, physiquement, par une équation traduisant l’équilibre, dans les régions où se situe la masse, entre la force de gravité et la force de pression. On tombe alors, en se situant à l’intérieur de « l’étoile » emplie de masse positive de masse volumique sur : ∂ip(+) = + ρ(+) ∂iU ∂ip(+) = −ρ(+) ∂iU Des équations qui se contredisent, donc. C’est ce qui a été soulevé par Damour et considéré comme un défaut rhédibitoire. Dans le papier que j’ai publié en mars 2019 j’ai rappelé que le choix de la forme des tenseurs responsables des géométries induites était libre. On pouvait alors inverser la proposition en disant que ces choix devaient alors être tels que les équations de Bianchi soient satisfaites (toujours dans l’approximation Newtonienne). Ceci s’obtient en inversant simplement le signe des termes de pression : ⌢ T(+) µ ν = ρ(+) 0 0 0 0 + p(+) c2 0 0 0 0 + p(+) c2 0 0 0 0 + p(+) c2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⌢ T(−) µ ν = ρ(−) 0 0 0 0 + p(−) c2 0 0 0 0 + p(−) c2 0 0 0 0 + p(−) c2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ on obtient alors ( tous les détails des calculs sont donné ) p(+) ' = −ρ(+) mc2 r2 = −G M ρ(+) r2 3 p(+) ' = −ρ(+) mc2 r2 = −G M ρ(+) r2 Les deux équations sont identiques. L’incohérence disparaît. Modulo la notation introduite plus haut le nouveau système s’écrira : R(+) µ ν −R(+)δ µ ν = T(+) µ ν + g(−) g(+) ⌢ T(−) µ ν R(−) µ ν −R(−)δ µ ν = − g(+) g(−) ⌢ T(+) µ ν + T(−) µ ν ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Une modification qui ne change en rien tous les résultats antérieures publiés concernant : - La satisfaction du principe d’action-réaction ( disparition du phénomène runaway) - Les effets de lentilles gravitationnels négatifs - L’accélération de m’expansion cosmique - L’effet de confinement, les fortes plates des courbes de rotation, etc .. etc … Fin de ce résumé. ______________________________________________________________ 4 Commençons par commenter l’essai de Damour (Physical Review D 2002 ) [13]. Il s’agit, historiquement, de la première tentative de décrire l’univers en considérant deux « branes » interagissant à l’aide de forces véhiculées par un ensemble de gravitations dotés d’un « spectre de masse ». Damour introduit un lagrangien Les quantités : d4x −gL et d4x −gR représentent les « volumes Riemaniens » des deux entités. En Relativité Général la dérivation Lagrangienne de l’équation d’Einstein se fonde sur le Lagrangien S = d4x −gL R(g) −Λ + L { } Dans l’expression proposée par Damour la quantité d4x gR gL ( ) 1/4 s’accorde bien avec les deux autres hypervolumes Riemaniens, sur le plan dimensionnel, mais sa nature reste peu claire, et reste, semble-t-il de nature purement heuristique. Avec les notations « Janus », en optant pour une nullité des deux constantes cosmologies et en prenant χ = 1 ses équations de champ s’écrivent : (1) R µν (+) −1 2 R(+) gµν (+) = Tµν (+) + tµν (+) (2) R µν (−) −1 2 R(−) gµν (−) = Tµν (−) + tµν (−) Dans les seconds membres on trouve les sources des champs déterminant les géométries des secteurs « + » et « -« ou « Right » et « Left » selon les notations de Damour. Les termes tµν (+) et tµν (−) traduisent l’interaction entre ces deux secteurs. - tµν (+) représente la contribution au champ, qui détermine la géométrie « + » (« right ») due à la présence de masses « -» (« left »). - tµν (−) représente la contribution au champ, qui détermine la géométrie « - » (« left ») due à la présence de masses «+»(« right ») . 5 La convention d’écriture « Janus » se traduit par : (3) R µν (+) −1 2 R(+) gµν (+) = Tµν (+) + tµν (+) (4) R µν (−) −1 2 R(−) gµν (−) = −Tµν (−) + tµν (−) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ La forme des deux premiers membres impose alors que les divergences des deux seconds membres soient nulles. Dans le but de démontrer l’incohérence du système Janus Damour a choisi d’opter pour la configuration : - Situation stationnaire - Présence d’une masse positive, de densité constante ρ(+) , située à l’intérieur d’une sphère ( c’est dire, schématiquement, une « étoile ) - Densité de matière négative ( « left ») nulle. Le système devient alors, avec ses notations : (5) R µν (+) −1 2 R(+) gµν (+) = Tµν (+) (6) R µν (−) −1 2 R(−) gµν (−) = −tµν (−) On notera à ce stade que rien ne définit la façon dont le tenseur tµν (−) doit être construit. C’est l’effet de « géométrie induite » créé dans le secteur « left » par la matière « right ». Tout ce qu’on pourrait dire est que ce tenseur devrait être fonction du contenu « right » c’est à dire (7) tµν (−) ≡ψ ( ρ(+), p(+) ) La proposition de modèle « Janus » revient à donner à ce terme la forme : (8) tµν (−) = g(+) g(−) Tµν (+) Pour montrer que l’incohérence apparaît même dans une situation quasi Lorentzienne, dans son article, page 2, équation (5) il introduit un tenseur Tµν (+) selon : (9) Tµν (+) = − g(+) g(−) Tµν (+) 6 Les conditions de divergence nulle des deux équations s’écrivent alors (ses équation (7) et (8), page 3 de votre article) : (10) ∇ν (+)Tµν (+) = 0 (11) ∇ν (−)Tµν (+) = 0 où les opérateurs ∇ν (+) et ∇ν (+) sont construits à partir des deux métriques différentes gµν (+) et gµν (−) . Quel est le sens physique de ces conditions de divergence nulle ? Ce sont des équations de conservation. Il n’est donc pas étonnant que ces équations (10) et (11) débouchent sur des équations de type Euler, qui expriment le fait que, dans l’étoile, la force de gravité équilibre la force de pression. Or le calcul conduit à : (12) ∂ip(+) = + ρ(+) ∂iU (13) ∂ip(+) = −ρ(+) ∂iU Des équations qui, comme Damour le note fort justement, se contredisent. Revenons maintenant à la physique en décidant d’écrire les équations Janus uploads/Geographie/ 2019-progress-in-physics-detail-calcul.pdf