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CTM 12 : Trigonométrie dans le triangle rectangle I I. . C Co om mp pé ét te en

CTM 12 : Trigonométrie dans le triangle rectangle I I. . C Co om mp pé ét te en nc ce es s à à a at tt te ei in nd dr re e C1 Calculer, déterminer, estimer, approximer C2 Appliquer, analyser, résoudre des problèmes C3 Représenter C4 Repérer, comparer C6 Organiser les savoir, synthétiser, généraliser C7 Acquérir les notions propres aux mathématiques I II I. . A Au ut to oé év va al lu ua at ti io on n e et t é év va al lu ua at ti io on ns s f fo or rm ma at ti iv ve es s Je dois être capable dans : Auto- évaluation 1ère évaluation 2ème évaluation C1 1.1.9. Utiliser correctement les fonctionnalités de la calculatrice 1.3.1. Calculer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle si on connaît deux côtés dont l’hypoténuse. 1.5.1. Transformer les formules de sinus, de cosinus et de tangente dans le triangle rectangle afin de calculer la longueur d’un côté de ce triangle. C2 2.4.9. Résoudre des problèmes mettant en œuvre les rapports trigonométriques du triangle rectangle C3 3.3.2. Construire une représentation géométrique complexe pour schématiser une situation existante C4 4.1.2. Ecrire des rapports de longueurs C6 6.2.6. Généraliser la définition du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle à partir d’exemples pratiques 6.2.7. Généraliser la propriété des sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle à partir de leur écriture sous forme de rapport C7 7.1. Acquérir les définitions, énoncés, formules et notations propres aux mathématiques en les mémorisant 7.2. Acquérir les définitions, énoncés, formules et notations propres aux mathématiques en les utilisant Signature des parents NOM : ……………………………… DELAIS : …………………………….. PRENOM : ……………………………... : …………………………….. CLASSE : ……………………………… : …………………………….. CTM N° 12 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE AUTOEVALUATION TRAVAIL T S P J J’ai toujours mon CTM au complet avec moi Je me munis du matériel nécessaire à la réalisation de la tâche Je respecte les consignes Je comprends la signification des questions posées Je réalise mon travail jusqu’au bout Je m’applique dans la réalisation de ma tâche Je soigne mon travail Je respecte le délai imposé Je gère mon travail dans le temps Je cherche spontanément des ressources complémentaires (si nécessaire) CORRECTION T S P J Je corrige complètement mon travail J’identifie la nature de mes erreurs (distraction – compréhension) J’identifie ce que je peux améliorer J’identifie ce que j’ai trouvé facile et difficile J’autoévalue objectivement mon travail Je cherche à améliorer mes points faibles AUTOEVALUATION GLOBALE A EC NA TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 1 1) Introduction : Trigo quoi ?? Le mot « trigonométrie » vient du grec : trigonon triangle Metron mesurer C’est donc une branche des mathématiques qui s’intéresse aux mesures (des côtés et des angles) que l’on peut trouver dans un triangle. Pour aborder la trigonométrie sereinement, tu dois être familier avec : - le triangle rectangle ; - les proportions et le vocabulaire qui y est lié. 2) Le triangle rectangle : rappels a) Les côtés du triangle rectangle Dans chaque cas, surligne : - en vert l’hypoténuse du triangle rectangle ; - en rouge le côté opposé à l’angle aigu marqué ; - en bleu le côté adjacent à l’angle aigu marqué. De cet exercice, on peut déduire que : • L’hypoténuse d’un triangle est le côté opposé à l’angle droit • Le côté opposé à l’angle se trouve en face de l’angle concerné • Le côté adjacent à l’angle est celui qui touche l’angle concerné TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 2 Exercice Pour chacun des triangles ci-dessous, donne le nom : 1) du côté opposé à l’angle noirci ; 2) du côté adjacent à l’angle noirci. b) Les angles du triangle rectangle Tu te rappelles sûrement que la somme des angles d’un triangle est toujours de 180° . Mais dans un triangle rectangle, il y a toujours un angle droit (= 90° ). Il ne reste donc plus que 90° pour les 2 autres angles qui sont forcément tous 2 aigus et complémentaires. Ex. : Dans un triangle rectangle, un des angles aigus mesure 30° . L’autre aigu mesurera forcément 60° (car 90° - 30° = 60 ° ) Exercice Complète les triangles ci-contre avec la mesure du 2ème angle aigu : 1) ………………. 1) ……………….. 1) ………………. 1) …………….. 2) ………………. 2) ……………….. 2) ………………. 2) …………….. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 3 3) Pour se lancer…un petit défi ! Voici l’annonce parue dans le journal local : Envie de remporter ce superbe ordinateur portable ? Alors répondez simplement à la question suivante : Parmi les destinations suivantes : France, Italie, Angleterre et Espagne, Où se trouve le monument le plus haut ?? L’ordinateur sera attribué à la personne ayant mesuré (preuves à l’appui !!!) le monument le plus élevé tous pays confondus. Suite à cette annonce, Emilie a choisi de mesurer l’Escurial à Barcelone (Espagne). Lors de son voyage scolaire à Paris, Sandrine aimerait mesurer la tour Eiffel. Nicolas quant à lui aimerait mesurer la hauteur du Colisée de Rome (Italie). Julien a pensé mesurer le Big Ben à Londres (Angleterre). Défi : Détermine qui va gagner ! Pour le savoir, tu dois connaître les données suivantes : le règlement du concours permet uniquement l’utilisation de 2 outils : un théodolite et une chaîne d’arpenteur. les candidats au concours ont relevé (à l’aide des outils ci-dessus) les données suivantes : - Emilie se trouve à 120 m de l’Escurial qu’elle observe sous un angle de 69° . - Sandrine admire la Tour Eiffel sous un angle de 65° et se place à 160 m. - Nicolas, à 60 m du Colisée, le regarde sous un angle de 40° . - Quant à Julien, il se trouve à 80 m du Big Ben qu’il voit sous un angle de 50° . TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 4 a) Avant tout, une explication s’impose : Théodolite ?? Chaîne d’arpenteur ?? Le théodolite est un appareil permettant de mesurer des angles. Il est principalement utilisé par les géomètres et les topographes qui font souvent des mesures difficiles sur le terrain. Ces mesures d’angle permettront au topographe de connaître la hauteur des bâtiments à l’aide de calculs mathématique qu’on appelera calculs trigonométriques. Une chaîne d'arpenteur est un instrument de mesure destiné aux travaux de prise de distances sur le terrain, souvent réalisés par un géomètre. Pendant longtemps, elle n'étaient constituées que de maillons métalliques de longueur définie attachés les uns aux autres. La mesure donnée est peu précise, mais permet une estimation rapide d'une distance. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 5 b) Schématisation des situations des 4 candidats • Schématise les 4 situations en utilisant un minimum d’éléments géométriques. • Complète ensuite tes schémas avec un maximum de symboles mathématiques. • Ajoute les mesures (réelles) dont tu disposes • Termine par mettre l’inconnue (ce que tu cherches) en couleur 1) Emilie se trouve à 120 m de l’Escurial quelle observe sous un angle de 69° . 2) Sandrine admire la Tour Eiffel sous un angle de 65° et se place à 160m. 3) Nicolas, à 60m du Colisée, le regarde sous un angle de 40° 4) Quant à Julien, il se trouve à 80m du Big Ben qu’il voit sous un angle de 50° . TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 6 c) Indices pour résoudre le défi 1) Voici 3 triangles rectangles dans lesquels les angles ˆ A , Â‘ et Â‘’ ont la m mê êm me e amplitude. * En mesurant sur chacun de ces dessins, calcule le rapport entre la longueur du côté opposé aux angles ˆ A , Â‘ et Â‘’ et la longueur de l’hypoténuse : 1 : ............................................................................................................................................... 2 : ............................................................................................................................................... 3 : .............................................................................................................................................. * Que constates-tu lorsque tu compares les 3 valeurs obtenues ? ................................................................................................................................................. Ce rapport ne dépend donc pas des longueurs des côtés du triangle (puisqu’ils sont différents à chaque fois). Par contre, une chose est commune à ces 3 triangles : ……………………………… Le rapport calculé ici dépend donc uniquement de ............................................et est appelé SINUS Nous pouvons donc définir le sinus d’un angle aigu : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ * Calcule le rapport entre la longueur du côté adjacent aux angles ˆ A , Â‘ et Â‘’ et la longueur de l’hypoténuse. 1 : ............................................................................................................................................... 2 : ............................................................................................................................................... 3 : .............................................................................................................................................. * Que constates-tu lorsque tu compares les valeurs obtenues ? ................................................................................................................................................. Ce rapport ne dépend donc pas des longueurs des côtés du triangle (puisqu’ils sont différents à chaque fois). Par contre, une chose est commune à ces 3 triangles : ……………………………… Le rapport calculé ici dépend donc uniquement de ......................................et est appelé COSINUS Nous pouvons donc définir le cosinus d’un angle aigu : ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ 3 2 1 TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE CTM 7 Notation Le cosinus de l’angle ˆ A se note cos ˆ A Le sinus de l’angle ˆ A se uploads/Geographie/ ctm-12-trigono-ds-tr-rect.pdf