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Agrégation de Génie Électrique Session 2010, Épreuve d’automatique et d’informa

Agrégation de Génie Électrique Session 2010, Épreuve d’automatique et d’informatique industrielle Page 1 sur 20 Contrôle anti-ballant sur une grue à tour expérimentale Corrigé - B1 : modélisation du système Dans cette partie, on s’intéresse à un déplacement de la charge dans un plan vertical (O,x,z) . Le chariot et le levage sont à l’arrêt. On considère qu’à l’instant initial la charge est immobile et que θ = θ0, non nul à cause du vent constant. Le vent cesse brutalement. On peut établir l'équation différentielle du mouvement d'oscillations à partir de la conservation de l'énergie mécanique. Q1.1 : Exprimer l’énergie cinétique puis l’énergie potentielle de la charge en fonction de M, L, g et θ. 2 1 . . . . .(1 cos( )) 2 C P d E M L E M g L dt θ θ   = = −     Q1.2 : Déduire l’équation différentielle, en la variable θ, régissant le mouvement de la charge. ( ) ² 0 . ². . . . . .sin( ) 0 ² C P C P d E E d d d E E cte M L M g L dt dt dt dt θ θ θ θ + + = ⇒ = ⇒ + = ² . sin( ) 0 ² L d g dt θ θ + = Q1.3 : Linéariser cette équation en considérant que θ reste faible. Préciser l’intervalle angulaire (en degrés) pour lequel cette linéarisation entraîne une erreur inférieure à ±5%. Pour les faibles angles sin(θ) tend vers θ. L’équation devient linéaire : ² . 0 ² L d g dt θ θ + = Erreur de linéarisation < 5% sin( ) 0,05 sin( ) θ θ θ − ⇒ < En gardant les 2 premiers termes du développement limité de sin(θ) on obtient : 3 3 6 0,05 6 θ θ θ ⇒ < − -30,6° < θ < +30,6° Q1.4 : Donner la solution de cette équation linéarisée. Préciser la fréquence d’oscillation. Indiquer par un graphique l’allure du chronogramme θ(t) si on considère seulement pour cette question des frottements aérodynamiques proportionnels à Ω. 0 0 0 0 ( ) .cos( ) 1 2 t t g g avec et f L L θ θ ω ω π = = = Si il existe des frottements proportionnels à Ω Chronogramme en cosinus amorti. Agrégation de Génie Électrique Session 2010, Épreuve d’automatique et d’informatique industrielle Page 2 sur 20 Le chariot est en mouvement, le levage est à l’arrêt. Q1.5 : Donner la relation entre Pc, Px, L et θ. .sin( ) Pc Px L θ − = ( triangle rectangle en PX , formé par les point PC, PX et M ) Q1.6 : Donner l’équation traduisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge. En déduire une relation entre sin(θ) et ax, az et g. . sin( ) ( ² ( )²) x x z a T M g a a g a θ + = ⇒ = + − Q1.7 : Des hypothèses simplificatrices nous amènent à négliger certains termes dans la relation précédente et on retient ( ) x a sin g θ ≈ . En linéarisant selon l’hypothèse de la question Q1.3 et en utilisant le résultat de la question Q1.5, exprimer la fonction de transfert x c V (p) H(p) V (p) = ( p variable de Laplace). On a : x L Pc Px a g − = En dérivant par rapport au temps on obtient : ² ² x x da d V L L Vc Vx g dt g dt − = = 1 ( ) 1 ² H p L p g = + Q1.8 : Représenter sur un graphique, sous forme de croix, les pôles de H(jω). Où se déplacent ces pôles si on considère des frottements aérodynamiques proportionnels à Ω. Les représenter sous forme de point. Conclure sur la stabilité de H(p) dans les 2 cas. Si pas de frottement : Le système est instable (oscillations entretenues) Si frottements : Le système est stable (oscillations amorties) Agrégation de Génie Électrique Session 2010, Épreuve d’automatique et d’informatique industrielle Page 3 sur 20 Commande de vitesse en boucle ouverte avec compensation du ballant. Q1.9 : Donner la fonction de transfert c xu V (p) S(p) V (p) = qui permet une compensation parfaite. ( ) 1 ² L S p p g = + pour compenser les pôles de H(p) Q1.10 : En tenant compte de la compensation parfaite définie par S(p) à la question précédente, énoncer la propriété mathématique que doit vérifier la fonction Vxu(t) pour que l’accélération du chariot ax(t) soit définie en tout point. En déduire si un profil temporel trapézoïdal convient. Le bloc de compensation introduit 2 dérivations pour établir Vc(t). D’autre part Vc(t) doit être dérivable pour que l’accélération soit définie à tout point. En conséquence, la fonction Vxu(t) doit être dérivable 3 fois. Un profil trapézoïdal ne convient pas car il n’est dérivable qu’une seule fois. Q1.11 : En considérant que l’accélération maximale du chariot est atteinte à l’instant d’application de l’échelon, déterminer la bande passante maximale du filtre en fonction de acMAX. On fera l’application numérique pour la longueur L la plus défavorable. Exprimons ( ) . ( ) .(1 ²). ( ) C C XU L a p pV p p p V p g = = + avec 3 3 1 1,8 ( ) ( ) ( ) . ² . 1 XU U U F V p V p et V p p p p p α β ω = = + + + L’accélération sera maximale à l’instant d’application de l’échelon, c'est-à-dire à t=0 Appliquons le théorème de la valeur initiale : 3 0 lim ( ) lim . ( ) 1,8. . C MAX C C CMAX F t t L a a t p a t a g ω → →∞ = = ⇒ = 3 1,8. . CMAX F L a g ω = Pour avoir acMAX ≤ 20 m/s² il faut : ωF ≤ 3,79 rad/s soit fF ≤ 0,604 Hz Commande de vitesse en B.O. avec accélération planifiée et ballant compensé. On définit le profil d’accélération que doit suivre la charge : x a K.t².(T t)² = − pour 0 ≤ t ≤ T x a 0 = pour t > T Q1.12 : Tracer l’allure des profils d’accélération ax et de vitesse Vx. Exprimer K en fonction de T et ∆V. Agrégation de Génie Électrique Session 2010, Épreuve d’automatique et d’informatique industrielle Page 4 sur 20 5 T 5 0 K.T 30. V K.t².(T t)².dt V V K 30 T ∆ − = ∆ ⇒ = ∆ ⇒ = ∫ Q1.13 : Pour les profils précédents, exprimer la consigne Vc(t) à fournir au variateur pour compenser le ballant. On présentera la réponse sous forme développée suivant les puissances descendantes de t. aX = K.( t².T² + t4 - 2.T.t3 ) dax/dt = K.(2.t.T² + 4.t3 - 6.T.t² ) d²ax/dt² = K.(2.T² + 12.t² - 12.T.t ) ac = ax + (L/g). d²ax/dt² = K. ( t².T² + t4 - 2.T.t3 + (L/g).(2.T² + 12.t² - 12.T.t ) = K.( t4 - t3.2.T + t².(T² + 12.L/g) - t.12.L.T/g + 2.LT²/g ) Vc = K.( t5/5 - t4.T/2 + t3. (T² + 12.L/g)/3 - t².6. L.T/g + t. 2.LT²/g ) + Vc(0) Corrigé - B2 : Asservissement anti-ballant La commande en boucle fermée fait intervenir 2 types de capteurs : capteurs d’angles et gyromètres. On ne s’intéresse ici qu’aux balancements dans le plan (O,x,z) donc au capteur mesurant θ et au gyromètre mesurant dθ Ω = dt . Asservissement utilisant le gyromètre. Identification Gyromètre Le système étant à l’arrêt, on a provoqué manuellement un mouvement de balancement et enregistré le signal numérique fourni par le gyromètre à liaison bluetooth. Voir Figure 9. Ensemble variateur – moteur - chariot. Le moteur est commandé en vitesse. La consigne de vitesse (en tr/mn) est transmise au variateur via le réseau de terrain. Compte tenu sa grande dynamique vis-à-vis de la fréquence maximum de balancement, l’ensemble sera considéré comme un gain statique. Voir Figure 10. Ensemble câble - charge On considèrera que cet ensemble est régi par les équations différentielles suivantes : x dV 10.θ = dt x c x d²V L V = V + 10 dt² Q2.1 : Calculer, en degrés, l’amplitude du mouvement pendulaire qui correspond au relevé de la Figure 9. Calculer la longueur de câble L correspondante. Le mouvement est décrit par les équations : 0 .cos( ) sin( ) M M t et t ω θ ω θ ω Ω Ω= Ω = + On mesure une période de 2,21 s donc : ω = 2.π / 2,21 = 2,843 rad/s On mesure une amplitude crête à crête pour Ω : 880 * 6.4 = 137,5 ° /s = 2,4 rad/s soit uploads/Industriel/ corrige-ext-aii-2010.pdf