Cours de Processus Aléatoire Fayçal HAMDI fhamdi@usthb.dz Equipe STEP, Laborato

Cours de Processus Aléatoire Fayçal HAMDI fhamdi@usthb.dz Equipe STEP, Laboratoire RECITS, USTHB, Alger, Algérie Faculté de Mathématiques, USTHB, 22 février 2020 F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 1 / 26 Chapitre 2 Introduction à la théorie générale des processus stochastiques F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 2 / 26 Introduction à la théorie générale des processus Il s’agit de représenter par un modèle mathématique l’état d’un système dépendant d’un paramètre (souvent le temps) et du hasard. Si nous faisons intervenir le hasard sous la forme axiomatisée habituelle d’un espace probabilisé (Ω, A, P) et si t désigne le paramètre (le temps), le modèle mathématique cherché se présente donc naturellement comme une fonction (t, ω) 7! X (t, ω) , dé…nie sur T  Ωà valeurs dans un espace E décrivant les états possibles du système. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 3 / 26 Introduction à la théorie générale des processus L’état du système, pour la valeur t du paramètre, dépendant uniquement du hasard est une v.a., ce qui s’exprime 8t 2 T, ω 7! X (t, ω) est mesurable. On peut donc aussi bien décrire la même situation en considérant une famille (Xt)t2T de variables aléatoires dé…nies sur (Ω, A, P). F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 4 / 26 Introduction à la théorie générale des processus Dans certains cas on pourra être également plutôt amené à considérer pour chaque réalisation possible ω du hasard l’évolution correspondante X (t, ω) du système, dé…nie par l’application t 7! X (t, ω). Le modèle mathématique se présente alors sous la forme d’une fonction de t, dépendant du hasard. l’application ω 7! X (., ω) satisfaisant alors à des propriétés de mesurabilité ; cet élément aléatoire constitué par la fonction X (., ω) prendra naturellement le nom de fonction aléatoire. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 5 / 26 Introduction à la théorie générale des processus Dé…nition Soit T un ensemble d’indices. On appelle processus stochastique dé…ni sur T, à valeurs dans l’espace mesurable (E, B) le terme X = Ω, A, P, (Xt)t2T  constitué par la donnée d’un espace probabilisé (Ω, A, P) et d’une famille (Xt)t2T de v.a. dé…nies sur (Ω, A, P), à valeurs dans (E, B). (Ω, A, P) est appelé espace probabilisé de base du processus, (E, B) est l’espace de phase ou espace des états. Pour tout ω 2 Ωl’application t 7! Xt (ω) de T dans E est appelée trajectoire du processus. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 6 / 26 Introduction à la théorie générale des processus Notations Il apparaîtra souvent plus commode de noter X (t, ω) l’élément Xt (ω) de E. Dans certains cas on utilisera aussi bien la notation X(t) ou X(t, .) pour la variable aléatoire Xt. Soit T un ensemble in…ni. Nous considérons une famille ((Et, Bt))t2T d’espaces mesurables. Nous désignerons souvent par E T l’ensemble produit des ensembles (Et)t2T et pour toute partie S de T par E S le produit des ensembles (Et)t2S. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 7 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Dé…nition Le produit cartisien des ensembles (Et)t2T est l’ensemble de toutes les applications x : T ! [ t2T Et t7!x(t)2Et On note ce produit cartisien par ∏ t2T Et ou E T , i.e., pour tout élément x 2 E T s’écrit x = (xt)t2T et xt est appelée coordonnée d’indice t de x. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 8 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Cas particuliers Si T = N ou Z. Alors E N = ∏ n2N En c’est l’esemble de toutes les suites (xn)n2N tel que 8n 2 N, xn 2 En. Si Et = E, 8t 2 T. Alors, E T est l’ensemble de toutes les applications de T vers E. Si E = R et T = N. Alors, RN est l’ensemble de toutes les suites numériques réelles. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 9 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Dé…nition Soient S  T et E S = ∏ t2S Et le produit cartisien des ensembles Et, t 2 S. Alors E T = E S  E T S. On appelle projection de E T sur E S l’application notée πS et dé…nie par πS : E T ! E S (xt)t2T 7!πS((xt)t2T)=(xt)t2S Remarque Si S  S0  T, alors πS,S 0 est la projection de E S 0 sur E S dé…nie par πS,S 0 = πS (xt)t2S 0  = (xt)t2S . On a aussi πS,S 0  πS = πS. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 10 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Dé…nition Soit S …ni inclus dans T, et soit A un élément de N t2S Bt. On note cette tribu par BS engendrée par les applications projections fπt,S, t 2 Sg, i.e., BS = σ fπt,S, t 2 Sg = σ ( ∏ t2S At, At 2 Bt ) . Remarque Si S et S0 sont deux parties de T telle que S \ S0 = ∅, alors 1 E S[S 0 = E S  E S 0. 2 8AS  E S et AS 0  E S 0, π1 S AS \ π1 S 0  AS 0 = AS  AS 0  E T S[S 0. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 11 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Dé…nition Une partie A de E T est appelée cylindre s’il existe S  T …ni et AS  BS avec A = AS  E T S, i.e., A = π1 S (AS). AS est une base du cylindre et on note C l’ensemble des cylindre de E T . Remarque C est une algèbre sur E T . F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 12 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Dé…nition L’espace probabilisable E T , BT  sera appelé espace produit des espaces probabilisables ((Et, Bt))t2T . Remarque Il est évident que si T est …ni l’ensemble des cylindres coïncide avec l’ensemble des pavés mesurables et que le produit que nous venons de dé…nir est le produit au sens ordinaire du produit d’une famille …nie d’espaces probabilisables. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 13 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Proposition BT est la tribu sur E T engendrée par les projections πftg, t 2 T. La dé…nition ci-dessus exprime que BT est la plus petite tribu rendant mesurables les applications de projection canoniques πS. On voit aisément que les applications πS sont mesurables si et seulement si les applications de projection canoniques πftg le sont pour tout t 2 T. Il résulte alors immédiatement d’une propriété de mesurabilité que : Proposition Pour qu’une application f de l’espace probabilisable (Ω, A) dans E T , BT  soit mesurable, il faut et il su¢t que pour tout t 2 T l’application πftg  f de (Ω, A) dans (Et, Bt) soit mesurable. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 14 / 26 Espaces produits d’espaces probabilisés Dé…nition Pour tout S …ni, soit PS une probabilité sur E S, BS . On dit que la famille fPS, S …nig est un système projectif de probabilité par rapport à la famille de projection fπS,S 0, S  S0, S0 …nig si πS,S 0 (PS 0) = PS, i.e., PS est l’image de PS 0 par πS,S 0. F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 15 / 26 Lois de dimension …nie du processus On appelle lois de dimension …nie du processus (Xt)t2T le système de lois de probabilités n P(t1,...,tn), n  1, t1, ..., tn 2 T o telle que 8A 2 n O t=1 Bt, P(t1,...,tn) (A) = P ((Xt1, ..., Xtn) 2 A) , i.e., P(t1,...,tn) est une probabilité sur  E n, n N t=1 Bt  . Remarque Comme n N t=1 Bt est engendrée par les partie A = A1      An, At 2 Bt. Alors, P(t1,...,tn) (A1      An) = P (Xt1 2 A1, ..., Xtn 2 An) . F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 16 / 26 Processus équivalents Soit (Xt)t2T et (Yt)t2T deux processus admettent pour espace de base (Ω, A, P) et (Ω0, A0, P0) respectivement et pour espace d’états (E, B). On dit que les processus (Xt)t2T et (Yt)t2T sont équivalents s’ils admettent mêmes lois de dimension …nie, i.e., 8n  1, 8t1, ..., tn 2 T et 8A1      An 2 n N t=1 Bt, P (Xt1 2 A1, ..., Xtn 2 An) = P0 (Yt1 2 A1, ..., Ytn 2 An) . F. Hamdi (USTHB) Processus aléatoire 22/02/2020 17 / 26 Loi d’un processus stochastique Soit (Xt)t2T un processus dé…ni sur (Ω, A, P) à valeur dans l’espace probabilisable (E, B) . On munit E T de la tribu BT engendrée par les cylindres de dimension …nie de E T . Soit ϕ : Ω! E T tel que pour tout ω 2 Ω, ω 7! ϕ (ω) = (Xt (ω))t2T . L’application uploads/Industriel/ cours-de-ps-chapitre-2.pdf

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