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Devoir surveillé n°6 Durée : 4H Il sera tenu compte de la rédaction et de la p

Devoir surveillé n°6 Durée : 4H Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de la copie. Problème 1 On rappelle que dans un anneau H, si a,b ∈H tels que : ab ba alors : ∀n ∈ℕ; a bn  n k0 ∑Cn kakbn−k où ∀k ∈0,n Cn k  n! k!n−k! . Soient M3la -algèbre des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels et ses élèments : M  −7 0 −8 4 1 4 4 0 5 ; J  −1 0 −2 1 1 1 1 0 2 ; I  1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; A  1 4 M −I. 1) Exprimer A2 en fonction de A et en déduire l’expression de An pour tout entier naturel n ≥1. ( On convient de poser : Z0 I pour tout Z ∈M3) 2) Exprimer M comme combinaison linéaire de A et de I et en déduire pour tout n entier naturel non nul, l’expression de M n comme combinaison linéaire de A et de I. ( On écrira M n sous la forme : M n unA vnI ) 3) Donner sous forme matricielle la matrice M n. 4) Calculer J 2 et en déduire J n pour tout entier non nul n. 5) La matrice J est elle inversible ? ( On pourra calculer le rang de J ). 6) Soit E aI bJ tq a,b∈2 a) Justifier rapidement que E est un sous espace vectoriel de M3, en donner une base et la dimension. b) E est-il une sous algèbre de M3? ( On commencera par montrer que E est stable par le produit de matrices ) c) Quels sont les élèments de E qui sont inversible d’inverse appartenant à E ? ( On pourra prendre deux élèments U aI bJ et V cI dJ et étudier l’égalité : UV I ) d) Résoudre dans E les équations suivantes d’inconnue X : (i) X 2 I. (ii) X 2 X. d) Montrer que M appartient à E et en déduire que : ∀n ∈ℕ∗ M n −3nI 1 −−3nJ. 7) Soient f et g les endomorphismes de 3 représentés respectivement dans la base canonique B0 e1,e2,e3de 3 par les matrices M et J. On note également id l’application identité de 3. a) On pose : E0 kerget E1 kerg −id. Montrer qu’une base de E0 est u1où u1 −2,1,1. Montrer qu’une base E1 est u2,u3où u2 0,1,0et u3 1,0,−1. b) Montrer que 3 E0 ⊕E1. Justifier que B u1,u2,u3est une base de 3 c) Quelle est la matrice de g dans la base B ? d) Quelle est la matrice de f dans la base B ? e) Pour tout entier naturel non nul n, déterminer la matrice de f n dans la base B. f) Indiquer une nouvelle methode reposant sur les questions précèdentes pour calculer la matrice M n On pourra utiliser sans le justifier que si P ∈GL3et T ∈M3alors : ∀n ∈ℕ; P−1TPn P−1TnP. Problème 2 Xdésigne la -algèbre des polynômes à coefficients réels, et 2Xle -espace vectoriel des polynômes réels de degré ≤2. On note : B 1,X,X2la base canonique de 2X. Première partie 1) Soient Q1,Q2,Q3 trois polynômes réels et a1,a2,a3 trois réels tels que : ∀i,j ∈1,2,3; Qiaj0 si i ≠j et ∀i ∈1,2,3; Qiai≠0. Montrer que la famille Q1,Q2,Q3est libre. 2) On pose : P1X 1 8 X −3X −5; P2X −1 4 X −1X −5; P3X 1 8 X −1X −3. En utilisant la question 1) ; montrer que B′ P1,P2,P3est une base de 2X. 3) Déterminer la matrice A de passage de la base B à la base B′. Calculer A−1. 4) On pose : P0XX −1X −3X −5. Pour tout polynôme PXde X, on note PXle reste de la division euclidienne de P par P0. Soit f l’application de Xvers Xdéfinie par : fPP. a) Montrer que f est linéaire. b) Déterminer l’imge de f. c) Déterminer le noyau de f. d) Montrer f est un projecteur, dont on précisera la base et la direction. 5) Soit P ∈X. a) Montrer que : PXP1P1XP3P2XP5P3X. b) Retrouver ainsi la matrice A−1. Deuxième partie Soient les matrices : M  3 2 0 2 3 0 0 0 3 et I  1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 1) Calculer le produit M −IM −3IM −5I. Le résultat trouvé change t-il si, dans ce produit, on change l’ordre des trois facteurs ? 2) Soit E aI bM cM 2 tq a,b,c∈3 Justifier rapidement que E est un sous espace vectoriel de M3. Déterminer la dimension et une base de E. 3) Pour PXa bX cX 2 Soit PaI bM cM 2. Montrer que est une application linéaire de 2Xvers E. Justifier que est un isomorphisme d’espaces vectoriels. 4) On pose pour tout i ∈1,2,3, on pose : Ni PiM. En utilisant la question 5) de la partie précèdente, exprimer I, M, M2 sous forme de combinaison linéaire de N1, N2, et N3. 5) Déduire de ce qui précède la valeur des produits : NiNj pur i ≠j. uploads/Litterature/ ds-6-sup.pdf