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TS Variables aléatoires ﬁnies 1 Déﬁnitions Déﬁnition 1.1 Une variable aléatoire

TS Variables aléatoires ﬁnies 1 Déﬁnitions Déﬁnition 1.1 Une variable aléatoire est une fonction X qui, à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire, associe un nombre réel : X : Ω − → R ω 7− → X (ω) On note X (Ω) l’ensemble de valeurs prises par X . On dit que la variable aléatoire est ﬁnie si l’ensemble de ses valeurs X (Ω) est un ensemble ﬁni. Remarque 1.1 • On peut voir une variable aléatoire ﬁnie comme une grandeur numérique X pre- nant différentes valeurs x1, x2, ..., xn avec les probabilités p1, p2, ..., pn lors d’une expérience aléatoire. • L’ensemble des valeurs p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), ..., pn = P(X = xn) déﬁnit une loi de probabilité sur X (Ω) = {x1,x2,...,xn}. • Les événements {X = x1}, {X = x2}, ..., {X = xn} sont les événements élémentaires de cette loi. • On résume souvent la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans un tableau : xi x1 x2 ... xn pi = P(X = xi) p1 p2 ... pn Déﬁnition 1.2 L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X ), déﬁni par : E(X ) = n X i=1 pi xi = p1x1 + p2x2 +...+ pnxn Remarque 1.2 E(X ) est la valeur moyenne de la variable aléatoire après un grand nombre de répétitions de l’expérience aléatoire. Si on s’intéresse à un jeu, c’est le gain moyen après un grand nombre de parties (un jeu est dit équitable si E(X ) = 0). Propriété 1.1 (Linéarité de l’espérance) Soient a et b deux réels. On a : E(aX +b) = aE(X )+b maths.muller@gmail.com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES 1/?? Déﬁnition 1.3 La variance de la variable aléatoire X est le nombre, noté V(X ) (ou Var(X )), déﬁni par : V(X ) = n X i=1 pi(xi −E(X ))2) = p1(x1 −E(X ))2 + p2(x2 −E(X ))2 +...+ pn(xn −E(X ))2 C’est à dire : V(X ) = E £ (X −E(X ))2¤ Propriété 1.2 V(X ) = E(X 2)−(E(X ))2 C’est à dire : V(X ) = n X i=1 pi x2 i −(E(X ))2 = p1x2 1 + p2x2 2 +...+ pnx2 n −(E(X ))2 Déﬁnition 1.4 L’écart-type de X est : σ(X ) = p V(X ) Remarque 1.3 L’écart-type est un indicateur de dispersion : plus il est élevé et plus les valeurs de X sont hétérogènes (dispersées). Il caractérise la ﬁabilité d’un processus, ou encore un risque. Propriété 1.3 Soient a et b deux réels. On a : • V(aX +b) = a2V(X ) • σ(aX +b) = |a|σ(X ) 2 Exemple détaillé On considère le jeu suivant : On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. • À chaque fois que "pile" sort, on gagne 2(. • À chaque fois que "face" sort, on perd 1(. maths.muller@gmail.com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES 2/?? Pour modéliser cette situation on va faire un arbre : 1er tirage 2e tirage 3e tirage Résultat Gain P P P PPP 6 F PPF 3 F P PFP 3 F PFF 0 F P P FPP 3 F FPF 0 F P FFP 0 F FFF -3 L’univers est Ω= {PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP ; FFF} À chaque événement élémentaire ω de Ωon associe un nombre réel, noté X (ω) (par exemple X (PFP) = 3) qui représente le gain du lancé. On déﬁnit ainsi une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans X (Ω) = {−3 ; 0 ; 3 ; 6}. On note par exemple {X = 3}, ou plus simplement X = 3, l’événement {PPF ; PFP ; FPP}. On déﬁnit alors la loi de probabilité de X : P(X = −3) = 1 8, P(X = 0) = 3 8, P(X = 3) = 3 8 et P(X = 6) = 1 8 que l’on peut résumer dans un tableau pour déterminer l’espérance et la variance de X : xi -3 0 3 6 Total pi = P(X = xi) 1 8 3 8 3 8 1 8 1 pi xi −3 8 0 9 8 6 8 E(X ) = 12 8 = 1,5 x2 i 9 0 9 36 pi x2 i 9 8 0 27 8 36 8 E(X 2) = 72 8 = 9 L’espérance de X est E(X ) = 1 8 ×(−3)+ 3 8 ×0+ 3 8 ×3+ 1 8 ×6 = 12 8 = 1,5 En moyenne on gagne 1,5( par partie. Pour que ce jeu soit équitable il faudrait, par exemple, faire payer un droit de 1,5( pour jouer une partie. La variance de X vaut : V(X ) = E(X 2)−(E(X ))2 = 9−1,52 = 6,75 D’où l’écart-type : σ(X ) = p V(X ) = p 6,75 ≃2,6 maths.muller@gmail.com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES 3/?? 3 Loi binomiale Rappel : On dit qu’une expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre p si elle a exactement deux issus : • Une, qualiﬁée de succès, avec une probabilité p • L’autre, qualiﬁée d’échec, avec une probabilité q = 1−p Déﬁnition 3.1 On suppose que l’on répète n fois de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre p. Celle-ci a donc deux issues : • Succès, avec une probabilité p • Échec, avec une probabilité q = 1−p Soit X la variable aléatoire qui dénombre les succès. Alors on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, et on note : X B(n,p). Exemple 3.1 On répète n = 3 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,4. Celle-ci a donc deux issues : • Succès (S), avec une probabilité p = 0,4 • Échec (E), avec une probabilité 1−p = 0,6 Soit X la variable aléatoire dénombrant les succès. X suit la loi binomiale B(n = 3 ; p = 0,4). On peut représenter cette situation par un arbre : 1er 2e 3e Résultat X S S S SSS 3 0,43 0,4 E SSE 2 0,42 ×0,6 0,6 0,4 E S SES 2 0,42 ×0,6 0,4 E SEE 1 0,4×0,62 0,6 0,6 0,4 E S S ESS 2 0,42 ×0,6 0,4 E ESE 1 0,4×0,62 0,6 0,4 E S EES 1 0,4×0,62 0,4 E EEE 0 0,63 0,6 0,6 0,6 On peut donner la loi de probabilité de X dans un tableau : k 0 1 2 3 P(X = k) 0,63 = 0,216 3×0,4×0,62 = 0,432 3×0,42 ×0,6 = 0,288 0,43 = 0,064 maths.muller@gmail.com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES 4/?? Propriété 3.1 Si X B(n,p), alors pour tout entier k entre 0 et n, on a : P(X = k) = Ã n k ! pk(1−p)n−k Remarque 3.1 La notation Ã n k ! se lit "k parmi n" et donne le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. C’est le nombre de façon de choisir k éléments parmi n. On rencontre aussi la notation Ck n et ses valeurs se calculent grâce à la calculatrice : OPTN PROB n nCr k ce qui donne : nCk. On a la formule : Ã n k ! = n! k!(n −k)! où n! désigne la factorielle de n et vaut : n! = 1×2×3×...×n. On l’obtient à la calculatrice avec : OPTN PROB n x! ce qui donne : n!. Remarque 3.2 La calculatrice donne directement les résultats liés à la loi binomiale dans le menu : OPTN STAT DIST BINM , puis : • P(X = k) : Bpd dont la syntaxe est BinomialPD(k,n,p) • P(X ⩽k) : Bcd dont la syntaxe est BinomialCD(k,n,p) Propriété 3.2 Si X suit la loi binomiale B(n,p), alors : • E(X ) = np • V(X ) = np(1−p) • σ(X ) = p np(1−p) Remarque 3.3 E(X ) est le nombre moyen de succès après plusieurs tirages de X . maths.muller@gmail.com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES 5/?? Exemple 3.2 (Exercice type corrigé) Énoncé : Les résultats seront donnés arrondis à 10−3 Dans une usine de composants électroniques, la probabilité qu’un composant soit défec- tueux est de 3%. On prélève 100 composants pour mettre dans un colis. Le nombre de composants est suf- ﬁsamment important pour que ce prélèvement soit considéré avec remise. Soit X la variable aléatoire qui dénombre les composants défectueux dans ce prélèvement. 1) Montrer que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2) a) Quelle est la probabilité d’obtenir aucun composant défectueux ? b) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 composants défectueux ? c) Quelle est la probabilité d’obtenir au plus 5 composants défectueux ? d) quelle est la probabilité d’obtenir au moins 2 composants défectueux ? e) quelle est la probabilité d’obtenir entre 2 et 5 composants défectueux ? 3) En moyenne, combien de composants défectueux obtiendra-t-on dans un colis ? Solution : 1) On répète n = 100 fois, de manière indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,03. X dénombrant les succès, X uploads/Marketing/ ts-cours-probas-variablesaleatoiresfinies.pdf