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Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 19 Chapitre 2 : Pro

Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 19 Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 1. Introduction Le fonctionnement des systèmes numériques repose sur la manipulation de variables et fonctions dont les valeurs sont représentées par des grandeurs physiques dites binaires car ne pouvant prendre que deux valeurs (généralement notées 0 et 1). La structure mathématique permettant de formaliser les opérations de manipulation de ces grandeurs binaires est dite algèbre de commutation ou plus communément algèbre de Boole. Nous nous intéressons dans ce chapitre aux bases et aux propriétés fondamentales de l’algèbre de Boole indispensables à la compréhension du fonctionnement des systèmes numériques. 2. Propriétés de l’algèbre de Boole 2.1 Définitions Dans l’algèbre de commutation, une variable ne peut prendre que 0 ou 1 comme valeur possible. Une telle variable est dite variable logique, variable binaire, ou variable booléenne. De même, une fonction de n variables logiques ne peut prendre comme valeur que 0 ou 1. Elle est dite fonction logique, fonction binaire, ou fonction booléenne. 2.2 Table de vérité d’une fonction logique C’est une table donnant l’état logique de la fonction pour chacune des combinaisons des états de ses variables. Une fonction de n variables est représentée par une table de vérité à n+1 colonnes et au plus 2n lignes. Le tableau 2.1 donne la forme générale d’une fonction de deux variables logiques. A B F(A,B) 0 0 F(0,0) 0 1 F(0,1) 1 0 F(1,0) 1 1 F(1,1) tableau 2.1 : forme générale de la table de vérité d’une fonction de deux variables logiques Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 20 2.3 Les fonctions logiques élémentaires Trois fonctions suffisent pour définir une algèbre de Boole : la complémentation, le produit logique, et l’addition logique. 2.3.1 La fonction de complémentation ou fonction NON Le complément de la variable A se note A (lire « A barre » ou « non A »). A vaut 1 (respectivement 0) si et seulement si A vaut 0 (respectivement 1). On parle encore de fonction d’inversion logique. Le tableau 2.2 donne la table de vérité de la fonction de complémentation. Les symboles usuellement utilisés pour représenter graphiquement l’opérateur correspondant, appelé inverseur, sont ceux de la figure 2.1. A A 0 1 1 0 tableau 2.2 : table de vérité de la fonction NON 1 (a) (b) figure 2.1 : symboles logiques d’un inverseur (a) notation usuelle (ancienne notation US) (b) notation normalisée IEEE (ancienne notation européenne) 2.3.2 La fonction produit logique ou fonction ET Le produit logique de 2 variables se note A.B, AB, ou bien encore A∧B (lire « A et B »). A.B vaut 1 si et seulement si A et B valent 1. Le tableau 2.3 donne la table de vérité de la fonction ET, et la figure 2.2 les symboles logiques de l’opérateur associé. A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 tableau 2.3 : table de vérité de la fonction ET (a) (b) figure 2.2 : symboles logiques de l’opérateur ET. (a) notation usuelle (b) notation normalisée IEEE 2.3.3 La fonction addition logique ou fonction OU L’addition logique de 2 variables se note A+B ou A∨B (lire « A ou B »). A+B vaut 0 si et seulement si A et B valent 0. Le tableau 2.4 donne la table de vérité de la fonction OU, et la figure 2.3 les symboles logiques de l’opérateur associé. A A A A A B A.B A B A.B & Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 21 A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 tableau 2.4 : table de vérité de la fonction OU (a) (b) figure 2.3 : symboles logiques de l’opérateur OU. (a) notation usuelle (b) notation normalisée IEEE 2.3.4 Propriétés des fonctions NON, ET, et OU • Commutativité des fonctions ET et OU : AB BA = A B B A + = + • Associativité des fonctions ET et OU : A BC AB C ABC ( ) ( ) = = A B C A B C A B C + + = + + = + + ( ) ( ) • Eléments neutres pour les fonctions ET et OU A A A . . 1 1 = = A A A + = + = 0 0 • Eléments absorbants pour les fonctions ET et OU A A . . 0 0 0 = = A A + = + = 1 1 1 • Propriété d’idempotence des fonctions ET et OU A A A . = A A A + = • Propriétés de l’inversion logique A A = A A . = 0 A A + = 1 • Distributivité de ET par rapport à OU A B C AB AC A B C AC BC ( ) ( ) + = + + = + ≥1 A B A B + A B + A B Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 22 • Distributivité de OU par rapport à ET A BC A B A C AB C A C B C + = + + + = + + ( )( ) ( )( ) • Autres relations utiles se déduisant des précédentes (relations de simplification) A AB A A A B A A AB A B A A B AB + = + = + = + + = ( ) ( ) • Théorème de De Morgan A B A B A B A B + = = + . . Ce théorème se généralise à un nombre quelconque de variables : X X X X i i i i i i i i ∑ ∏ ∏ ∑ = = N. B. On notera que l’analogie entre l’addition logique (resp. produit logique) et l’addition (resp. multiplication) de l’arithmétique classique se limite à un nombre très restreint de propriétés. 2.3.5 Opérateurs secondaires Dans les circuits logiques, on utilise également des opérateurs qui sont des combinaisons des fonctions ET, OU, et NON. 2.3.5.1 La fonction NON ET ou NAND : A B . La table de vérité de la fonction NON ET se déduit immédiatement de celle de la fonction ET par inversion du résultat (tableau 2.5). A B A B . 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 tableau 2.5 : table de vérité de la fonction NON ET (a) (b) figure 2.4 : symboles logiques de l’opérateur NON ET. (a) notation usuelle (b) notation normalisée IEEE A B A B . A B . A B & Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 23 2.3.5.2 La fonction NON OU ou NOR : A B + La table de vérité de la fonction NON OU se déduit immédiatement de celle de la fonction OU par inversion du résultat (tableau 2.6). A B A B + 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 tableau 2.6 : table de vérité de la fonction NON OU (a) (b) figure 2.5 : symboles logiques de l’opérateur NON OU (a) notation usuelle (b) notation normalisée IEEE 2.3.5.3 Quelques propriétés des fonctions NON ET et NON OU Les propriétés des fonctions NON ET et NON OU se déduisent des propriétés des fonctions élémentaires NON, ET, et OU. AB BA A B B A AB C A BC ABC ABC ABC A B C A B C A B C A B C A B C = + = + = = ≠ + + = + + = + + + + ≠ + + mais mais ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A A A A A A A A A A A A . . . . 1 1 0 0 1 0 1 0 = + = = + = = + = = + = 2.3.5.4 La fonction OU exclusif (abrégé OUEX ou XOR) : A B A B A B ⊕ = + . . A B A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 tableau 2.7 : table de vérité de la fonction OU exclusif (a) (b) figure 2.6 : symboles logiques de l’opérateur OU exclusif. (a) notation usuelle (b) notation normalisée IEEE =1 A B A B ⊕ A B ⊕ A B A B A B + A B + A B ≥1 Chapitre 2 : Propriétés des variables et fonctions logiques 24 • Propriétés de la fonction OU exclusif A B B A A B C A B C A B C A A A A A A A A A B A B ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕= ⊕ = ⊕ = ⊕ = ⊕ (commutativité) (associativité) ( ) ( ) 0 1 0 1 • Utilisations courantes de la fonction OU exclusif ⇒ Détection de deux éléments binaires différents, A B A B uploads/Philosophie/ info-2.pdf