T.MEKERRI Page 1 Mathématique(I) INTRODUCTION Comme tout étudiant en science, l

T.MEKERRI Page 1 Mathématique(I) INTRODUCTION Comme tout étudiant en science, l’étudiant en économie est en face de variables (données) économiques, représentées par les nombres considérés comme objets mathématiques. Dans le but d’analyser ces données, les mathématiques sont apparues comme le moyen le plus approprié pour modéliser la plupart des phénomènes économiques et de les faire analysés c’est-à-dire modéliser consiste à écrire les hypothèses que l’on fait sur les concepts économiques en utilisant le formalisme mathématique qui permet de représenter, en général, ces concepts sous forme d’équations ou inégalité, puis on en tire logiquement les conséquences, qu’on réécrit ensuite en termes économiques. En effet, dans chaque théorie mathématique on trouve des méthodes, plus au moins, simples et claires qui sont présentées dans un mode de déduction logique. Ce mode de raisonnement, qui accompagne ces sciences (économies, commerciales et sciences de gestion) dans leurs développements, a donné des résultats satisfaisants et une précision proche de la réalité économique. Les nombres dont on a déjà parlé, ce sont les nombres réels, donc il est nécessaire de rappelé les propriétés essentielles qui serviront à l’étude des suites de nombres et aux fonctions d’une variable réelle. Ce modeste cours est réparti en trois chapitres, le premier donne les définitions générales des suites et les principaux résultats de convergence. Le deuxième est consacré à l’étude des fonctions d’une variable réelle ; nous allons présenter en détail les fonctions puissances, exponentielles et logarithmes, puis on introduit la notion de limite qui est centrale dans les définitions de la continuité et la dérivabilité des fonctions d’une variable réelle. Nous donnons par la suite l’essentiel de ce qu’il faut connaître pour la recherche des extremums et les points d’inflexion. Le troisième donne des méthodes de calcul de l’aire basées sur le théorème fondamental du calcul intégral. Et on achève ce cours par quelques notions générales sur les fonctions de plusieurs variables réelles. T.MEKERRI Page 2 1.Nombres réels Le sujet de ce chapitre est tout à fait classique dans l’enseignement des mathématiques ; pour le besoin de faire de l’analyse et de présenter des démonstrations rigoureuses et claires, nous allons fixer un certain nombre de propositions simples comme axiomes par lesquelles on déduit les propriétés des nombres réels de grande utilité en analyse et qui sont jugées nécessaires de les imposer aux étudiants. Rappel sur les nombres réels : 1. Axiomes des nombres réels : Le corps des nombres réels est un ensemble  pour lequel sont définies : a) deux applications ,      et ,    de  dans  ; b) une relation   (écrite aussi  ) entre les éléments de , satisfaisant aux quatre groupes d’axiomes suivants :    est un corps, en d’autres termes : . 1            ; T.MEKERRI Page 3 . 2        ; . 3 il existe un élément 0  , tel que 0     pour tout    ; . 4 pour chaque élément   , il existe un élément    , tel que     0 ; . 5    ; . 6    ; . 7 il existe un élément 1 0 dans  tel que 1   pour tout    ; . 8 pour chaque élément  0 dans , il existe un élément    (noté aussi ) tel que   1 ; . 9       . Nous supposons que les conséquences élémentaires de ces axiomes sont connues.    est un corps ordonné. Ceci signifie que les axiomes suivants sont satisfaits : . 1   et   impliquent  . . 2   et   est équivalent à   . . 3 pour deux éléments quelconques ,  dans , ou bien  , ou bien  . . 4   implique      . . 5 0  et 0  impliquent 0 .    est archimédien et satisfait à l’axiome des intervalles emboîtés. Cela signifie que les axiomes suivants sont vérifiés : . 1 axiome d’Archimède : pour tout couple de nombres réels , , tels que 0 "  et 0 , il existe un entier # tel que  #.  où #.       $  , # fois le nombre . . 2 axiomes des intervalles emboîtés : étant donnée une suite %&', (')' d’intervalles fermés tels que &' &'* et (' ('* pour tout #, alors l’intersection de cette suite d’intervalles n’est pas vide i.e + %&', (')' ' ,. 2. Conséquences de la structure d’ordre des nombres réels : La relation -   et   0 s’écrit  "  ou  1 . La relation   est donc équivalente à -  "  ou    0. T.MEKERRI Page 4 (2.1) Pour tout couple de nombres réels , , une et une seule des trois relations  "  ,   ,  1  , a lieu. Si  , d’après . 3,  "  ou  1  mais d’après . 2 il est impossible d’avoir simultanément  "  et  1  car  . (2.2) Les deux relations -   45  "  0 et -  "  45   0 impliquent chacune  " , -   45  "  0 6  "  et -  "  45   0 6  "  . Car, d’après . 1, elles impliquent  , et si on suppose que   , alors on aura à la fois   et  "  (ou  "  et  ), ce qui est absurde d’après . 2. (2.3) Si 7 et 7 sont deux suites finies de # nombres réels 1 8 # tels que 7 7 pour tout 8, alors   9  $  '   9  $  ' ……(1) Si, en outre, 7 " 7 pour un indice au moins, alors   9  $  ' "   9  $  ' ……(2) Montrons tout d’abord ces résultats pour #  2, les hypothèses   et 9 9 impliquent successivement, d’après . 4   9   9   9, d’où la première conclusion. En outre, la relation   9    9 implique que   9    9 et   9    9 d’après . 2, donc    et 9  9 contradiction avec au moins une des inégalités   , 9 9 est stricte, ce qui entraîne la deuxième conclusion. On termine la démonstration par récurrence sur #. on suppose que les inégalités (1) et (2) sont vérifiées sous leurs hypothèses jusqu’à l’entier #. On montre que les inégalités (1) et (2) sont aussi vérifiées pour l’entier #  1. On note     9  $  ' et     9  $  '. D’après les hypothèses suivantes   , 9 9, $, ' ' et '* '* , on aura   (hypothèse de récurrence) et '* '* qui à leurs tours impliquent   '*   '*   '* d’où la première conclusion. T.MEKERRI Page 5 Maintenant, nous allons vérifier que   '* "   '* dès que l’une des inégalités 7 7 est stricte pour l’indice 8  :1, $ , #, #  1;. Supposons que 8 vérifie 1 8 #, donc 7 " 7 implique  "  (hypothèse de récurrence). Si   '*    '* , alors les inégalités   '*   '*   '* entraîne   '*    '* et cela implique que   . De même pour 8  #  1 : supposons que '* " '* , si   '*    '* , alors   '*   '*   '* entraîne   '*    '* i.e '*  '* . Finalement, si 7 " 7 pour un certain 8  :1, $ , #, #  1;, alors l’égalité   '*    '* n’aura pas lieu. D’où   '* "   '* . (2.4) La relation   équivaut à       ;la relation  "  équivaut à    "   ,   <       et  "  <    "    . La première : d’après . 4, la relation   implique    uploads/Philosophie/ mathematiques-i.pdf

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