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M. LEBBAL Théorie du signal-Université de BATNA 2 1 Objectifs : Maîtriser l’ana

M. LEBBAL Théorie du signal-Université de BATNA 2 1 Objectifs : Maîtriser l’analyse des signaux et systèmes (continu, discret, …) et la numérisation du signal Contenu de la matière : Les Chapitres 1-Généralités sur les signaux (3S) 3- Transformée de Laplace : (3S) 5- Corrélation des signaux : (3S) 2- Analyse de Fourrier (4S) 4- Produit de Convolution : (2S) Références : 1 : Martin, Jean-Noël Débuter en traitement numérique du signal, 2 : Jacques Lacoume, Méthodes et techniques de traitement du signal et 3 : Tanguy, Jean-Pierre, Théorie et pratique du signal Chapitre 1 – Généralités sur les signaux (3S) 1.1 Introduction, notions de base et signaux Dans la vie quotidienne, tous les appareils électroniques échangent de l’information sous forme analogique ou numérique. Cette information est émise d’un émetteur et reçue par un récepteur afin d’être traitée et utilisée. Le signal : C’est une entité (électrique, ondes acoustique ou lumineuse, suite de nombres...) qui véhicule une information (musique, parole, image, température…) via un canal. Le signal est utile s’il contient l’information. Il considéré comme bruit s’il est perturbateur qui gêne la perception ou l’interprétation d’un signal utile. Le canal de transmission : C’est le support du signal. Il constitue une liaison entre un émetteur d’informations et un récepteur. Il occasionne des dégradations telles que :le retard, la distorsion, l’adjonction de bruit La théorie du signal : Elle s’intéresse à l’étude mathématique des caractéristiques des signaux. Le traitement du signal : C’est la manipulation de l’information afin d’extraire le maximum d’informations utiles d'un signal perturbé par le bruit, suivie d’une analyse afin d’extraire un caractère particulier du signal. Les Filtres (filtrage) : Un filtre est un système permettant de conserver une ou plusieurs fréquences (ou bandes) et annuler les autres bandes. Il existe cinq filtres : Passe-bas, Passe-haut, Passe-bande, Coupe-bande. 1.2 Classifications des signaux 1.2.1 Classification temporelle ou phénoménologique (selon leur type d’évolution) 1.2.1.1 Les signaux déterministes : Ce sont des signaux dont l’évolution temporelle est parfaitement définie et peut être prédite par un modèle mathématique approprié. Les signaux périodiques : Un signal s(t) est périodique de période T si : s(t) = s(t + T) t אԹ. Périodique composite : Il résulte d’une somme de signaux périodiques dont le rapport des périodes est rationnel (répétition à l’infini d’un motif). Quasi-périodique : C’est la somme de signaux périodiques dont le rapport des périodes n’est pas rationnel. Pseudopériodique : Il résulte d’un signal périodique dont l'amplitude varie au cours du temps. Le signal non périodique : Il ne satisfait pas à la relation précédente. 1.2.1.2 Les signaux aléatoires : C’est un signal dont la valeur à un instant t ne peut pas être prédite. Stationnaires : Ce sont des signaux dont les caractéristiques statistiques ne changent pas au cours du temps. Non-stationnaires : Signaux dont les caractéristiques statistiques évoluent au cours du temps. 1.2.2 Classifications morphologiques Un signal est la représentation de l’amplitude en fonction du temps. La classification morphologique se fait selon la nature du temps (discret ou continu) et l’amplitude (discrète ou continue). Variable discrète : C’est une variable dont les valeurs sont séparées (ex :ݔא {1,2,3, … }) Variable continue : C’est une variable dont les valeurs appartiennent à un intervalle (ex :ݔא [1 ,2]) M. LEBBAL Théorie du signal-Université de BATNA 2 2 Temps Amplitude Continue Discrète Continu Signal analogique Signal quantifié Discret Signal discret Signal numérique 1.2.3 Classification fréquentielle ou spectrale Nom d’onde Plage de fréquence Domaines et exemples Très basses fréquences (TBF) entre 3 KHz et 30 KHz Ondes des sons audibles Basses fréquences (BF) entre 30 KHz et 300 KHz Ondes radio Moyennes fréquences (MF) entre 300 KHz et 3 MHz Ondes radio AM Hautes fréquences (HF) entre 3 MHz et 30 MHz Ondes radio amateur Très hautes fréquences (VHF) entre 30 MHz et 300 MHz Ondes radio FM et télévision Ultra hautes fréquences (UHF) entre 300 MHz et 3 GHz Télévision, radio mobile, téléphones cellulaires Super hautes fréquences (SHF) entre 3 GHz et 30 GHz Ondes satellites et radars Extra hautes fréquences (EHF) entre 30 GHz et 300 GHz Armée, astronomie, presse, ambassade Infra-rouge (IR) entre 300 GHz et 400 Th Ondes lasers, photographie Lumière visible entre 400 THz et 750 THz Rayonnement dont nos yeux sont sensibles Ultra-violet (UV) entre 750 THz et 30 PHz) Cause le bronzage et les coups de soleil Rayons X entre 30 PHz et 30 EHz Radiographie, photographie Rayons Gamma entre 30 EHz 30 ZHz Emises par des noyaux radioactifs Rayon cosmiques >30 ZHz 1.2.4 Signaux particuliers 1.3 Classification énergétique Elle nous informe sur l’énergie et la puissance, si elles sont finies ou infinies. Energie et puissance instantanée Energie et puissance moyenne sur (t0,t1) Energie et puissance sur R ܹ݅௫= ݔ(ݐ) ή ݔכ(ݐ) = |ݔ(ݐ)|ଶ ܲ݅௫= ܹ݀݅௫ ݀ݐ = ݀|ݔ(ݐ)| ݀ݐ ଶ ܹ݉௫= න|ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ௧భ ௧బ ܲ݉௫= 1 ݐଵെݐ଴ න|ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ௧భ ௧బ ܹ ௫= lim ்՜ାஶන|ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ା೅ మ ି೅ మ ܲ ௫= lim ்՜ାஶ 1 ܶන|ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ା೅ మ ି೅ మ Remarque : L’unité de la puissance ne s’exprime pas en [W], mais en [V2] ou [A2] selon le signal. M. LEBBAL Théorie du signal-Université de BATNA 2 3 2 Analyse de Fourier (4S) 2.1 L’espace des vecteurs et des signaux, la base d’un espace et produit scalaire (rappel) Soitܣ ሬ ሬሬԦ = (ܽଵ, ܽଶ, ڮ , ܽ௡)் ݁ݐ ܤ ሬሬሬԦ = (ܾଵ, ܾଶ, ڮ , ܾ௡)் deux vecteurs qui appartiennent à un espace vectorielle de dimension n. Leur produit scalaire est donné par < ܣ ሬ ሬሬԦ ή ܤ ሬሬሬԦ >= ܣ ሬ ሬሬԦ ή ܤ ሬሬሬԦ = ฮܣ ሬ ሬሬԦฮή ฮܤ ሬሬሬԦฮή cos(ߠ) = ෍ܽ௜. ܾ௜ ௡ ௜ୀଵ ֜< ܣ ሬ ሬሬԦ ή ܣ ሬ ሬሬԦ >= ฮܣ ሬ ሬሬԦฮ ଶ= ෍ܽ௜ ଶ ௡ ௜ୀଵ Si ൏ܣ ሬ ሬሬԦή ܤ ሬሬሬԦ >= 0 ֜ l'un au moins est nul ou les vecteurs sont indépendants et (orthogonaux ( ܣ ሬ ሬሬԦ ٣ ܤ ሬሬሬԦ )) La distance entre ܣ ሬ ሬሬԦ݁ݐܤ ሬሬሬԦ est ݀൫ܣ ሬ ሬሬԦ െܤ ሬሬሬԦ൯= ฮܣ ሬ ሬሬԦ െܤ ሬሬሬԦฮ= ඥ(ܽଵെܾଵ)ଶ+ (ܽଶെܾଶ)ଶ൅ڮ + (ܽ௡െܾ௡)ଶ (ଓଵ ሬሬറǡ ଓଶ ሬ ሬ ሬറǡ ڮ ǡ ଓ௡ ሬ ሬ ሬറ) Constituent une base orthogonale s’ils sont indépendants et orthogonaux deux à deux : ߚଵଓଵ ሬሬറ൅ߚଶଓଶ ሬ ሬ ሬറ൅ڮ ൅ߚ௡ଓ௡ ሬ ሬ ሬറ= 0 ሬറ֜ ߚଵൌߚଶൌڮ ൌߚ௡= 0 ݁ݐ < ଓఫ ሬ ሬറή ଓ௞ ሬ ሬ ሬറ൒0 ׊്݆݇ ܽݒ݁ܿ׊ ܣ ሬ ሬሬԦ = (ܽଵǡ ܽଶǡ ڮ ǡ ܽ௡)்ൌܽଵଓଵ ሬሬറ൅ܽଶଓଶ ሬ ሬ ሬറ൅ڮ ൅ܽ௡ଓ௡ ሬ ሬ ሬറܽݒ݁ܿܽ௝= ൏ܣ ሬ ሬሬԦή ଓఫ ሬ ሬ ሬԦ > ฮଓఫ ሬ ሬ ሬԦฮ ଶ Dans l’espace des signaux, le produit scalaire de deux signaux x(t) et y(t) sur un intervalle C est défini par : ൏ݔ(ݐ) ή ݕሺݐ) >஼= නݔ(ݐ) ή ݕכ(ݐ)݀ݐ ஼ ܣݒ݁ܿ ݕכ(ݐ)ܿ݋݆݊ݑ݃ݑé ݀݁ݕ(ݐ) െܵ݅ݔሺݐሻ٣ ݕሺݐሻ֜൏ݔ(ݐ) ή ݕሺݐ) >஼= 0 2.2 Analyse harmonique L’analyse temporelle trace d’habitude l’évolution (l’amplitude) d’un signal en fonction du temps. L’analyse harmonique (fréquentielle ou spectrale) trace l’amplitude et la phase du même signal en fonction de la fréquence. 2.3 Série de Fourier (développement en série de Fourier) Le fondement de la série de Fourier est basé sur le principe qu’un signal périodique x(t) de fréquence et de période ܶ଴= 1 ݂ ଴ Τ et de puissance finie peut être décomposé en une somme d’ondes sinusoïdales. La forme somme des harmoniques ݔ(ݐ) = ܽ଴ 2 ൅෍ܽ௞ܿ݋ݏ(ʹߨ݂݇ ଴ݐ) ൅ܾ௞ݏ݅݊(ʹߨ݂݇ ଴ݐ) ାஶ ௞ୀଵ La forme de cosinus ݔ(ݐ) ൌܣ଴൅෍ܣ௞ ܿ݋ݏ(ʹߨ݂݇ ଴ݐ൅ߙ௞) ାஶ ௞ୀଵ La forme complexe ݔ(ݐ) ൌ෍ܺ(݇) ݁ା௝ଶగ௞௙ బ௧ ାஶ ௞ୀିஶ Les coefficients de Fourier ܽ଴ 2 = 1 ܶනݔ(ݐ) ݀ݐ ା೅ మ ି೅ మ valeur moyenne (constante) ܽ௞= 2 ܶනݔ(ݐ) ܿ݋ݏ(ʹߨ݂݇ ଴ݐ) ݀ݐ ା೅ మ ି೅ మ ݇൒0 ܾ௞= 2 ܶනݔ(ݐ) ݏ݅݊(2ߨ݂݇ ଴ݐ) ݀ݐ ା೅ మ ି೅ మ ݇൒1 ܣ଴= ܽ଴ 2 ܣ௞= ටܽ௞ ଶ൅ܾ௞ ଶ ߙ௞ൌܽݎܿݐܽ݊൬െܾ௞ ܽ௞ ൰ ܺ(݇) = ܺ௥(݇) + ݆ܺ௜(݇):est complexe, ܺ௥(݇) partie réelle, ܺ௜(݇) partie imaginaire et X(k) calculé ݌݋ݑݎ െλ ൑݇൑൅λ par ܺ(݇) = 1 ܶනݔ(ݐ) ା೅ మ ି೅ మ ݁ି௝ଶగ௞௙ బ௧ ݀ݐ M. LEBBAL Théorie du signal-Université de BATNA 2 4 La représentation spectrale : On associe à un signal périodique x(t) le spectre unilatéral (fréquences positives ou nulles). Il représente l’amplitude Ak et la phase Dk chacune en fonction des fréquences ݂= ݇ή ݂ ଴ Spectre bilatéral :Il représente le module |ܺ(݇)| et la phase arg൫ܺ(݇)൯ en fonction des fréquences ݂= ݇ή ݂ ଴ La puissance et la valeur efficace d’un signal périodique calculée dans le domaine temporel ou fréquentiel est donnée selon le Théorème de Perceval par l’égalité suivante : ܲ= ݔ௘௙௙ ଶ = lim ୘՜ାஶ 1 ܶන ݔଶ(ݐ) ݀ݐ ା೅ మ ି೅ మ = ܣ଴ ଶ+ ෍1 2 ܣ௞ ଶ= ෍|ܺ(݇)|ଶ ାஶ ିஶ = ܲௗ௖+ ܲ ௔௖= ାஶ ௞ୀଵ ܺௗ௖ ଶ+ ܺ௔௖ ଶ 2.4 Transformée de Fourier La série de Fourier est utilisée pour des signaux périodiques, tandis que la transformée de Fourier est exploitée pour des signaux non périodique à énergie finie. Les équations de la transformée de Fourier sont données par : ܺ(݂) = ܶܨ{ݔ(ݐ)} ൌ࣠{ݔ(ݐ)} = න ݔ(ݐ) ାஶ ିஶ ݁ି௝ଶగ௙௧ ݀ݐ ݔ(ݐ) = ܶܨܫ{ܺ(݂)} ൌ࣠ିଵ{ܺ(݂)} = න ܺ(݂) ାஶ ିஶ ݁ା௝ଶగ௙௧ ݂݀ La densité uploads/Philosophie/ resume-du-cours-theorie-de-signal.pdf