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RAPPELS SUR LES PROBABILITES Les probabilités peuvent être utilisées pour élabo

RAPPELS SUR LES PROBABILITES Les probabilités peuvent être utilisées pour élaborer des Modèles mathématiques des phénomènes aléatoires et stochastiques. INTRODUCTION Déterministes Non déterministes Phénomènes Phénomènes déterministes : Phénomènes déterministes : Il existe un modèle mathématique qui permet de prédire «parfaitement» l’évolution et le futur du phénomène. De nombreux exemples, notamment de systèmes ou modèles déterministes, existent en physique et en chimie. Un modèle déterministe produira donc toujours la même sortie à partir d'une condition de départ ou d'un état initial donné. Par exemple : Les systèmes physiques, tels que les filtres linéaires, décrits par des équations différentielles représentent des systèmes déterministes, même si l'état du système à un moment donné peut être difficile à décrire explicitement. INTRODUCTION INTRODUCTION Exemples de signaux déterministes Phénomènes non déterministes : Phénomènes non déterministes : Il n’existe pas de modèle mathématique permettant de prédire «parfaitement» l’évolution et le futur du phénomène. Il s’agit dans ce cas de la quasi-totalité des phénomènes naturels (son, image, température, … etc INTRODUCTION Exemples de signaux non déterministes Exemple d’un signal de parole du mot ‘’Samedi’’ Exemple d’un signal ECG INTRODUCTION C’est quoi l’analyse spectrale? Exemple d’un bruit blanc centré et Gaussien Exemples de signaux aléatoires Phénomènes non déterministes peut être divisé en deux principaux groupes: 1. Phénomènes dus au hasard: Il s’agit de résultats imprévisibles, sans possibilité de régularité statistique même à long terme. 2. Phénomènes aléatoires : Incapable de prédire les résultats, mais une possible régularité statistique à long terme. INTRODUCTION INTRODUCTION Déterministes Aléatoires Phénomènes Hasard Phénomènes aléatoires dus au hasard : • Il s’agit bien sûr de résultats imprévisibles, • Mais pas d'exposition à long terme de régularité statistique dans les résultats. • Existe-t-il de tels phénomènes? • Est-ce que des phénomènes non déterministes peuvent aussi présenter une régularité statistique à long terme? INTRODUCTION Phénomènes aléatoires Incapable de prédire les résultats, mais à long terme, les résultats présentent une régularité statistique. Exemples: Lancer une pièce de monnaie : Impossible de prédire à chaque tirage s'il s'agit de ‘’face’’ ou ‘’pile’’. À long terme, on peut prédire que 50% des ‘’faces’’ se produiront et 50% des ‘’piles’’ se produiront Un jet de Dé : Impossible de prédire à chaque tirage s'il s'agit de la face du dé ‘’1’’, ‘’2’’, ‘’3’’, ‘’4’’, ‘’5’’ ou ‘’6’’. À long terme, on peut prédire que 16,66 % de chacune des six faces du dé s ‘’faces’’ se produiront INTRODUCTION Notions sur les probabilités Espace probabiliste , S : L'espace probabiliste, S, pour un phénomène aléatoire est l'ensemble de tous les résultats possibles. C’est ce qu’on appelle aussi l’univers des possibles, DEFINITION Exemples: Lancer une pièce de monnaie : S = {‘’Pile’’ , ‘’Face’’} Un jet de Dé : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un évènement E : Un événement E, est une partie ou un sous ensemble (ou un sous espace) quelconque de S. Cest-à-dire tout ensemble de résultats du phénomène aléatoire étudié. Appelé également expérience aléatoire, S E Diagramme deVenn DEFINITION Exemples d’évènement: Soit l’évènement E correspondant au tirage de faces impaires d’un jet de dé, Donc nous avons : S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Alors que E = {1, 3, 5} DEFINITION Evènements particuliers: 1. Evènement vide non Nul E= Il s’agit d’un événement qui ne contient aucun résultat L'événement vide, , ne se produit jamais. L'événement entier, S, se produit toujours. DEFINITION 2. Evènement entier E= S Il s’agit d’un événement qui contient tous les résultats de l’espace S. Union: OU (OR) Soit A et B deux événements appartenant les deux à un espace S, alors l'union de A et B (denote par AB) est l'événement défini par: A  B = {e| e appartient à A ou e appartient à B} L'événement A  B se produit si l'événement A se produit ou/et si l'événement B se produit. A  B A B DEFINITION Intersection: ET (AND) Soit A et B deux événements appartenant les deux à un espace S, alors l’intersection de A et B (denote par A  B) est l'événement défini par: A  B = {e| e appartient à A et e appartient à B} L'événement A  B se produit si l'événement A se produit et si l'événement B se produit. A  B A B DEFINITION Evènement Complémentaire : NON (NOT) Soit A un événement appartenant à un espace S, alors le complémentaire de A (denote par ) est l'événement défini par: = {e| e tout ce qui n’appartient pas à A mais appartient à S} L'événement se produit si l'événement A ne se produit pas A A A A A DEFINITION Evènements mutuellement exclusifs : Cas de deux évènements Deux événements A et B sont appelés mutuellement exclusifs si: Si deux événements A et B sont mutuellement exclusifs, alors: •Ils n'ont aucun résultat en commun. •Ils ne peuvent pas se produire en même temps. •Le résultat de l'expérience aléatoire ne peut appartenir à la fois à A et à B. A B    A B DEFINITION On dit aussi que les évènements A et B sont incompatibles ou disjoints Supposons que nous ayons un ensemble A1, A2, A3,… et que toute paire s'exclut mutuellement (i.e. A1  A2 = f), Soit ni = n (Ai) = le nombre d’éléments dans Ai. Et N = n( A ) = le nombre d’éléments dans A = n1 + n2 + n3 + … Soit A = A1 A2  A3  …. DEFINITION Evènements mutuellement exclusifs : Cas de plusieurs évènements n1 A1 n2 A2 n3 A3 n4 A4 Definition: probabilité d’un évènement E. Soit un espace probabiliste S = {s1, s2, s3,… sN} a un nombre fini, N, de résultats. On suppose également que chacun des résultats de S est équiprobable. Alors pour tout événement E NOTIONS DE PROBABILITE Où n(E) et n(S) représentent le nombre d’éléments respectivement dans E et S. Remarque : S'applique uniquement au cas particulier lorsque L'espace probabiliste S a un nombre fini de résultats, et Chaque résultat est équiprobable P( P(r r) = ) = 0 0 Événement Événement impossible impossible P( P(r r) = ) = 1 1 Événement Événement certain certain Definition: probabilité d’un évènement E. NOTIONS DE PROBABILITE C’est ce qu’on appelle la probabilité fréquentielle. Si N est grand la probabilité fréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité théorique Probabilité THÉORIQUE = Nombre de résultats favorables Nombre de résultats possibles Probabilité FRÉQUENTIELLE = Probabilité FRÉQUENTIELLE = Nombre de fois qu’un résultat s’est produit Nombre de fois qu’un résultat s’est produit Nombre d’expériences réalisées Nombre d’expériences réalisées Lorsque l’expérience est effectuée un Lorsque l’expérience est effectuée un très grand nombre de fois très grand nombre de fois, , la probabilité la probabilité fréquentielle fréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité tend à se rapprocher de la probabilité théorique théorique. . Exemple : On lance une pièce de monnaie. Après Après 5 5 expériences : expériences : 3 3 piles et piles et 2 2 faces faces P PF F (pile) = (pile) = 3 / 5 3 / 5 = 0,6 = 0,6 Après Après 20 20 expériences : expériences : 9 9 piles et piles et 11 11 faces faces P PF F (pile) = (pile) = 9 / 20 9 / 20 = 0,45 = 0,45 Après Après 100 100 expériences : expériences : 52 52 piles et piles et 48 48 faces faces P PF F (pile) = (pile) = 52 / 100 52 / 100 = 0,52 = 0,52 NOTIONS DE PROBABILITE Definition: probabilité d’un évènement E. Probabilité THÉORIQUE = 0,5 Probabilité FRÉQUENTIELLE = Probabilité FRÉQUENTIELLE = La règle additive : (cas d’événements mutuellement exclusifs) i.e. Si A  B = (A et B sont supposés mutuellement exclusives) P[A  B] = P[A] + P[B] P[A or B] = P[A] + P[B] REGLES DE PROBABILITES La règle additive : (cas général) REGLES DE PROBABILITES P[A  B] = P[A] + P[B] – P[A  B] ou bien P[A or B] = P[A] + P[B] – P[A et B] B A A B  A B  Exercice: Equipe1 et Equipe2 sont deux des cinq équipe en compétition finale pour une coupe en sport. Il y a 20% de chances que l’équipe1 soit parmi les 5 finales. Il y a 35% de chances que l’équipe2 soit parmi les 5 finales et 8% de chances que l’équipe1 et l’équipe2 soient toutes deux parmi les 5 finales. Quelle est la probabilité que l’équipe1 ou l’équipe2 seront parmi les 5 finalistes? Solution: Soit A = l'événement que l’équipe1 est parmi les 5 finalistes. Soit B = l'événement où l’équipe2 est parmi les 5 finalistes. Nous avons donc P[A] = 0.20, P[B] = 0.35, et P[A  B] = 0.08 Quelle est donc P[A  B]? Note: “et” ≡ , “ou” ≡  . REGLES DE PROBABILITES         P A B P A P B P A B      0.20 0.35 0.08 0.47     uploads/Sante/ chapitre-2-rappels-sur-les-probabilites.pdf