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Geoiiicc 2 Universite ? de Lyon Universite ? Claude Bernard Lyon Pre ?paration au CAPES - GE ? OME ? TRIE ESPACES EUCLIDIENS Corrige ? du probleme Principaux points a retenir La re ?ponse a la question i donne une nouvelle illustration de l ? utilite ? du

Universite ? de Lyon Universite ? Claude Bernard Lyon Pre ?paration au CAPES - GE ? OME ? TRIE ESPACES EUCLIDIENS Corrige ? du probleme Principaux points a retenir La re ?ponse a la question i donne une nouvelle illustration de l ? utilite ? du principe de conjugaison ? de ?crit dans l ? exercice La me ?thode utilise ?e pour de ?montrer l ? existence d ? un triangle inscrit de pe ?rime tre minimal on utilise un argument topologique en conside ?rant une fonction continue ade ?quate sur un espace topologique compact question Le principe des raisonnements utilisant l ? hypothese que l ? on conna t un triangle de pe ?rimetre minimal on obtient des informations en essayant de contredire ce caracte re minimal questions et L ? utilisation du produit scalaire ou de manie re e ?quivalente du cosinus pour e ?tudier la position des demi-droites vectorielles contenues dans un me me demi-plan question i On peut en ?n retenir l ? e ?nonce ? du the ?oreme de Fagnano question et envisager d ? utiliser certaines parties de la de ?monstration a l ? oral lec ons Trajectoires de billard i L ? application f ? AB ? AC ? BC est un antide ?placement car compose ?e d ? un nombre impair d ? antide ?placements il s ? agit donc d ? une re ? exion ou d ? une syme ?trie glisse ?e C ? A C B A ? Les e ?galite ?s f C C ?? ?? et f A ?? ?? A se de ?duisent directement de la de ? ?nition de f Si cette isome ?trie e ?tait une re ? exion alors f A A ?? ?? car f ?? f et son axe D serait perpendiculaire aux droites AA ?? ?? et CC ?? ?? Comme BC ? AA ?? ?? et AB ? CC ?? ?? on en de ?duirait que les droites AB et BC seraient paralle les donc confondues ceci est exclu puisque le triangle ABC est non plat Nous avons ainsi de ?montre ? que f est une syme ?trie glisse ?e Il est connu que toute isome ?trie de ce type stabilise une droite et une seule cf exercice question Remarque ?? On peut e ?galement invoquer l ? exercice oul ? on a prouve ? question que la compose ?e de trois re ? exions est une re ? exion si et seulement si les trois axes sont paralleles ou concourants ii Quel que soit le point M du plan la droite D passe par le milieu du segment M f M Appliquant ceci avec M A ?? ?? et M C nous en de ?duisons que la droite D passe par les milieux des segments AA ?? ?? et CC ?? ?? c ? est-a - dire par les pieds des hauteurs issues de A et de C respectivement ? Nous supposons dans cette question qu ? il