"                              "                                      Les calculatrices sont autoris´ ees Notations, d´ efinitions et rappels Pour toute fonction f : [a, b] →R de classe C1, on note : L (f) =  b a  1 + (f ′ (t))2dt une expression int´ egrale de la longueur de la courbe repr´ esentative de f. Partie I Quelques exemples de calculs de longueurs I.1 V´ erifier la formule donnant L (f) pour f d´ efinie sur [0, 1] par f (t) = t. I.2 Calculer L (f) pour f d´ efinie sur [0, 1] par f (t) = ch (t) . 1/5 I.3 Un exemple de calcul de longueur d’un arc de courbe I.3.1 Calculer L (f) pour f d´ efinie sur  0, 1 √ 2  par f (t) = √ 1 −t2. I.3.2 Retrouver le r´ esultat de la question I.3.1 sans calcul, par des consid´ erations g´ eom´ etriques. I.4 Soit f d´ efinie sur [0, 1] par f (t) = t2. Calculer L (f), en utilisant une int´ egration par parties ou en s’inspirant de la question I.2. Partie II Un calcul approch´ e de longueur L’objectif de cette partie est d’effectuer un calcul approch´ e de la longueur d’un arc d’hyperbole. On consid` ere, pour ce faire, la fonction f d´ efinie sur 1 2, 1  par f (t) = 1 t . II.1 Expression int´ egrale de L (f) II.1.1 Donner une expression int´ egrale de L (f) . II.1.2 Montrer que L (f) est aussi la longueur de l’arc d’hyperbole correspondant ` a la res- triction de f ` a l’intervalle [1, 2] . II.2 Expression de L (f) sous forme de s´ erie num´ erique II.2.1 Soit α ∈R \ N. Rappeler le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de la fonction u →(1 + u)α, en pr´ ecisant son domaine de validit´ e. II.2.2 Montrer que, pour tout t ∈]0, 1[ , on a : √ 1 + t4 t2 = 1 t2 + +∞  n=1 (−1)n−1 (2n)! (2n −1) 22n (n!)2t4n−2. II.2.3 On note, pour tout entier n ≥1, an = (2n)! (2n −1) 22n (n!)2. Montrer que la suite (an)n∈N∗est d´ ecroissante et donner un ´ equivalent de an quand n tend vers l’infini. II.2.4 En d´ eduire une expression de L (f) comme somme d’une s´ erie num´ erique (on v´ erifiera avec soin les hypoth` eses du th´ eor` eme utilis´ e). 2/5 II.2.5 Donner une valeur approch´ ee de L (f) en utilisant les 5 premiers termes de la s´ erie obtenue ` a la question pr´ ec´ edente et donner une majoration de l’erreur commise. Partie III Longueur du graphe des fonctions puissances On s’int´ eresse ici, pour tout entier n ≥1, aux fonctions puissances pn d´ efinies sur [0, 1] par : ∀t ∈[0, 1] , pn (t) = tn. On d´ esigne par (λn)n∈N∗la suite d´ efinie par : ∀n ∈N∗, λn = L (pn) =  1 0 √ 1 + n2t2n−2dt. III.1 Conjecture sur la limite ´ eventuelle de (λn)n∈N∗ III.1.1 D´ eterminer λ1 et λ2. III.1.2 En trac ¸ant, sur un mˆ eme graphe, les courbes repr´ esentatives de quelques fonctions pn avec n de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite (λn)n∈N∗ainsi que la valeur de sa limite ´ eventuelle. III.2 Convergence et limite de la suite (λn)n∈N∗ III.2.1 Montrer que, pour tout entier n ∈N∗, on a : λn −n  1 0 tn−1dt = μn o` u : μn =  1 0 dt √ 1 + n2t2n−2 + ntn−1. III.2.2 Montrer que λn < 2 pour tout n ∈N∗. III.2.3 D´ eterminer la limite de la suite (μn)n∈N∗(on citera avec pr´ ecision le th´ eor` eme uti- lis´ e). III.2.4 En d´ eduire la convergence de la suite (λn)n∈N∗, ainsi que la valeur de sa limite. III.3 Plus g´ en´ eralement, montrer que si f : [0, 1] →R est une fonction de classe C1, croissante et telle que f (0) = 0 et f (1) = 1, on a alors L (f) < 2. 3/5 Partie IV Un r´ esultat inattendu IV.1 Etude de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee  1 0 sin (t) t dt IV.1.1 Montrer que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee  1 0 sin (t) t dt est convergente. IV.1.2 Montrer que, pour tout x ≥1, on a :  x 1 sin (t) t dt = cos (1) −cos (x) x −  x 1 cos (t) t2 dt. En d´ eduire que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee  +∞ 1 sin (t) t dt est convergente. IV.1.3 Montrer que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee  +∞ 1 cos (2t) t dt est convergente. IV.1.4 Montrer que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee  +∞ 1 sin2 (t) t dt est divergente. En d´ eduire la di- vergence de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee  +∞ 1 |sin (t)| t dt. IV.2 On d´ esigne par g la fonction d´ efinie sur ]0, 1] par g (t) = 1 t sin 1 t  et par f la fonction d´ efinie sur le mˆ eme intervalle par f (x) =  1 x g (t) dt. IV.2.1 Montrer que la fonction f se prolonge par continuit´ e en 0. On notera encore f ce prolongement. IV.2.2 Montrer que f est continue sur [0, 1] et ind´ efiniment d´ erivable sur ]0, 1] . IV.2.3 Montrer que : lim x→0+  1 x |g (t)| dt = +∞. IV.3 Pour tout r´ eel x ∈]0, 1] , on d´ esigne par λ (x) la longueur de la courbe repr´ esentative de la restriction de la fonction f au segment [x, 1] . Donner une expression int´ egrale de λ (x) , pour tout x ∈]0, 1] , puis montrer que lim x→0+ λ (x) = +∞. Donner une interpr´ etation de ce r´ esultat. 4/5 Partie V Continuit´ e de la fonction longueur On rappelle que l’application : f →∥f∥∞= sup t∈[0,1] |f (t)| d´ efinit une norme sur l’espace E = C0 ([0, 1] , R) des fonctions continues de [0, 1] dans R. On note E1 = C1 ([0, 1] , R) l’espace des fonctions continˆ ument d´ erivables de [0, 1] dans R et pour toute fonction f ∈E1, on note : ∥f∥= |f (0)| + ∥f ′∥∞. V.1 Comparaison des normes ∥·∥et ∥·∥∞ V.1.1 Montrer que l’application f →∥f∥d´ efinit une norme sur l’espace E1. V.1.2 Montrer que : ∀f ∈E1, ∥f∥∞≤∥f∥. V.1.3 Les normes ∥·∥et ∥·∥∞sont-elles ´ equivalentes sur E1 ? V.2 On d´ esigne par (fn)n∈N∗la suite de fonctions d´ efinie sur [0, 1] par : ∀n ∈N∗, ∀t ∈[0, 1] , fn (t) = sin (nπt) √n . V.2.1 Montrer que la suite (fn)n∈N∗converge uniform´ ement vers la fonction nulle sur [0, 1] . V.2.2 On d´ esigne, pour tout entier n ∈N∗, par In = L (fn) la longueur de la courbe repr´ esentative de fn. Montrer que : ∀n ∈N∗, In ≥√nπ 2 . V.2.3 L’application L : f →L (f) est-elle continue sur (E1, ∥·∥∞) ? V.2.4 L’application L : f →L (f) est-elle continue sur (E1, ∥·∥) ? Fin de l’´ enonc´ e 5/5 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 14 1318 – D’après documents fournis uploads/s3/ ccp-psi-math1-2014e.pdf

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