Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'un

Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Variables aléatoires discrètes Pr.Y.BENSLIMANE Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Variables aléatoires discrètes Pr.Y.BENSLIMANE Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Variables aléatoires discrètes Pr.Y.BENSLIMANE Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles 1 Notations et dé nitions 2 Propriétés 3 Fonction de répartition 4 Moments d'une v.a discrète Espérence mathématique Variance 5 Couple aléatoire Lois marginales 6 Les lois usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Hypergéométrique Loi Géométrique Loi de Poisson Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles 1 Notations et dé nitions 2 Propriétés 3 Fonction de répartition 4 Moments d'une v.a discrète Espérence mathématique Variance 5 Couple aléatoire Lois marginales 6 Les lois usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Hypergéométrique Loi Géométrique Loi de Poisson Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles De nition On considère l'espace probabilisable (Ω, A, P). On appelle variable aléatoire (v.a) discrète dé nie sur (Ω, A), une application X : Ω→IR telle que X(Ω) est dénombrable (en général X(Ω) est ni ou X(Ω) ⊂IN ou X(Ω) ⊂Z) et pour tout x réel : A = {ω ∈Ω/X(ω) = x} ∈A c'est -à-dire A est un événement. Convention d'écriture [X < x] = {w ∈Ω, X(ω) < x}, x ∈IR [X = x] = {w ∈Ω, X(ω) = x}, x ∈IR [a ≤X ≤b] = {w ∈Ω, a ≤X(ω) ≤b}, a, b ∈IR Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Remarque Si A = P(Ω), toute application X sera une v.a Exemple On lance un dé et on considère l'application X qui associé la valeur 1 au résultat paire, et 0 au résultat impaire. Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} avec A = P(Ω), X −1{1} = {2, 4, 6} donc X est une v.a. On jette deux dés distincts et on s'interesse à la somme des points. On note X : avec X(Ω) = {2, 3, 4, ...12} est l'ensemble des valeurs possibles prises par X (univers image). On lance trois dés, on s'interesse au plus grand chire obtenu. On a alors : Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles X : Ω − →IR (ω1, ω2, ω3) 7→max(ω1, ω2, ω3) avec Ω= {1, 2, ..., 6}3, et X prend ses valeurs dans {1, 2, 3, ..., 6} Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Loi de probabilité Soit X une v.a et y ∈IR On peux dé nir une probabilité PX : sur Ω′ = P(Ω) PX(y) = P(X −1(y)) Preuve Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Cas particuliers Variable indicatrice Soit A ∈A un événement quelconque, on considère la v.a suivante : X(ω) =  1 si ω ∈A 0 si ω ∈¯ A X est appelée v.a indicatrice de l'événement A et elle est notée X = 1 IA Variable certaine C'est la variable aléatoire qui prend une valeur constante a quel que soit le résultat de l'épreuve. P(X = a) = 1 La masse totale de la probabilité est concentrée en a Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles 1 Notations et dé nitions 2 Propriétés 3 Fonction de répartition 4 Moments d'une v.a discrète Espérence mathématique Variance 5 Couple aléatoire Lois marginales 6 Les lois usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Hypergéométrique Loi Géométrique Loi de Poisson Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles 1 Puisque A est un événement, il a une probabilité bien dé nie, et par conséquent, nous pouvons obtenir la probabilité que le variable aléatoire prend des valeurs inférieures à un x donné : P(A) = P(X ≤x) 2 On peut aussi obtenir la probabilité qu'une variable aléatoire prend des valeurs dans un intervalle : P(a < X ≤b) = P(X ≤b) −P(X ≤a) ∀a, b ∈IR 3 Soient X et Y deux v.a alors X + Y , X −Y , X × Y et X Y (si Y ̸= 0 sont aussi des v.a Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Remarque Deux variables aléatoires X et Y peuvent avoir même loi sans être égales Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles 1 Notations et dé nitions 2 Propriétés 3 Fonction de répartition 4 Moments d'une v.a discrète Espérence mathématique Variance 5 Couple aléatoire Lois marginales 6 Les lois usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Hypergéométrique Loi Géométrique Loi de Poisson Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles C'est une fonction d'une variable réelle qui s'introduit pour connaître comment se distribue la probabilité des valeurs qui prend une variable aléatoire. Il est dé ni comme la fonction : F(x) = P(X ≤x) = PX(] −∞, x]), ∀x ∈IR On peut écrire F(x) = X xi ≤x P(X = xi) ∀x ∈IR F(x) est bien dé nie Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Proposition 1 0 ≤F(x) ≤1 ∀x ∈IR 2 F(x) est une fonction croissante 3 lim x→−∞F(x) = 0 lim x→+∞F(x) = 1 4 P(X > a) = 1 −F(a) 5 P(a < X < b) = F(b) −F(a) −P(X = b) 6 P(a ≤X ≤b) = F(b) −F(a) + P(X = a) 7 P(a ≤X < b) = F(b) −F(a) + P(X = a) + P(X = b) 8 P(a < X ≤b) = F(b) −F(a) 9 x 7→F(x) est continue à droite en tout point x ∈IR Preuve Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles De nition On appelle fonction de densité de probabilité d'une v.a X la fonction donnée par : f (x) = P(X = x) La fonction de densité de probabilité véri e les propriétés suivantes Proposition Soit X une v.a, on a : 0 ≤f (x) ≤1 X i f (xi) = 1 F(x) = X xi ≤x f (xi) Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Remarque 1 La loi de probabilité d'une v.a discrète X est dé nie soit par la détermination des probabilités de tous les événements élémentaires ou bien par l'expression de sa fonction de répartition F 2 Si F est connue alors on peut déduire les probabilités des événements élémentaires  P(X = xi) = F(xi) −F(xi−1) pour i ≥2 P(X = x1) = F(x1) Exemple Donner la fonction de répartition pour l'expérience aléatoire "jet d'un dé équilibré" Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Espérence mathématique Variance 1 Notations et dé nitions 2 Propriétés 3 Fonction de répartition 4 Moments d'une v.a discrète Espérence mathématique Variance 5 Couple aléatoire Lois marginales 6 Les lois usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi Hypergéométrique Loi Géométrique Loi de Poisson Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments d'une v.a discrète Couple aléatoire Les lois usuelles Espérence mathématique Variance De nition L'espérance mathématique (la moyenne) d'une v.a est donnée par :E(X) = X i∈I pixi Remarque Chaque probabilité peut s'interpréter comme la masse ponctuelle du point ωi d'abscisse xi, donc E(X) est le barycentre ou le centre de gravité de ces points aecté de masses. Si X prend les valeurs x1 ≤x2 ≤x3 ≤... ≤xn alors x1 ≤E(X) ≤xn Exemple On lance un dé équilibré, si X représente le numéro de la face obtenue alors : E(X) = 6 X i=1 pixi = 1 6 6 X i=1 xi = 1 6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7 2 Pr.Y.BENSLIMANE Variables aléatoires discrètes Outline Notations et dé nitions Propriétés Fonction de répartition Moments uploads/Geographie/ chapitre2-probabilite.pdf

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