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LMD Pr. Amel Kara Hachemi Pr. Ilhem Kara Djellit Pr. Hacene Hachemi Cours et ap

LMD Pr. Amel Kara Hachemi Pr. Ilhem Kara Djellit Pr. Hacene Hachemi Cours et applications en Physique Algèbre et analyse ensorielles Editions Al-Djazair T Pr. Amel Kara Hachemi Pr. Ilhem Kara Djellit Université Ferhat Abbas Université Badji Mokhtar Faculté des Sciences Faculté des Sciences Département de Physique Département de Mathématiques Pr. Hacene Hachemi Université Ferhat Abbas Faculté des Sciences Département de Physique Algèbre et analyse Tensorielles Cours et applications en Physique Editions Al-Djazair SOMMAIRE A - Algèbre tensorielle ------------------------------------------------------------------------ 3 Chapitre 1 : Rappel d’un espace vectorie ------------------------------------------------------------- 4 Introduction 1- Espaces dual et bidual. 2- Définitions de la base de E et de la base duale de E*. 3- Propriétés des bases b et b*. 4- Application multilinéaire. 5- Application transposée. Chapitre 2 : Produit tensoriel d’espaces vectoriels -------------------------------------------------- 8 1- Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels. 2 - Propriétés du produit tensoriel de deux espaces vectoriels. 2.1 - Elément décomposable. 2.2 - Définition de la base de E F  . 2.3 - Dimension de l’espace F E  . 2.4 – Commutativité du produit tensoriel. 3- Produit tensoriel de r espaces vectoriels. 3.1-Définition. 3.2- Elément décomposable. 3. 3 -Base de l’espace vectoriel r i E  . 3.4 -Dimension de 1 r i i E   . 3.5 – Propriétés du produit tensoriel de r espaces vectoriels. Chapitre 3 : Tenseurs affines attaché à un espace vectoriel E ----------------------------- 14 Introduction. 1- Définition générale d’un tenseur. 2- Variance d’un tenseur. Algèbre et analyse tensorielles I 3- Type d’un tenseur. 4 - Composantes d’un tenseur. Position des indices. 5 - Représentation matricielle des Tenseurs 6 - Operations algébriques sur les tenseurs. 6.1 - Egalité de deux tenseurs 6.2 - Addition des tenseurs 6.3- Multiplication d’un tenseur par un nombre réel 6.4 - Transposition 6.5 – Produit tensoriel de tenseurs 6.6 – Tenseurs contractés 6.7- Produit contracté de 2 tenseurs Remarque – Distinction entre tenseur et matrices 7 - Formules de changement de base pour les composantes d’un tenseur 7.1 – Notation 7.2 – Généralisation 8- Critères de Tensorialité 8.1 – Nouvelle définition d’un tenseur 8.2 – Théorème de saturation complète des indices 8. 3 - Théorème de saturation incomplète des indices 9 - Produit tensoriel symétrique. Tenseurs symétriques 9.1 - Application m-linéaire symétrique 9.2- Produit symétrique 9.2.1 - Définition 9.2.2 - Base et dimension de m E  9.2.3 – Propriétés du produit symétrique 9.3 - Tenseurs symétriques 9.3.1 - Définition 9.3.2 – Le symétrisé d’un tenseur Algèbre et analyse tensorielles II 10 – Produit tensoriel antisymétrique – Algèbre extérieure 10.1 - Application m-linéaire symétrique 10.2 - Produit extérieur 10.2.1 – Définition 10.2.2 - Propriétés du produit extérieur 10.2.3 - Base et dimension de m E  10.2.4 - Produit antisymétrique 10.3 – Tenseurs antisymétriques 10.3.1 - Définition 10.3.2 – L’antisymétrisé d’un tenseur 10.3.3 - Composantes strictes d’un tenseur antisymétrique 11 – Décomposition d’un tenseur du second ordre Chapitre 4 : Les Tenseurs Euclidiens -------------------------------------------------------------------- 39 1- Rappel sur les espaces euclidiens 1-1-Définition 1.2 Isomorphisme entre E et E* 1.3 - Définition d’un forme bilinéaire associée à g sur E* 2- Définition des tenseurs Euclidiens 2.1 - Définition 2.2- Tenseurs équivalents 3 - Tenseur métrique ou tenseur fondamental 3.1 - Définition 3.2 - Propriétés 4. Composantes d’un tenseur Euclidien 4.1 - Exemple 4.2 - Passage des composantes d’un type à celles d’un autre type 5 - Tenseurs Euclidiens symétriques 6- Tenseurs euclidiens antisymétriques Chapitre 5 : Les pseudo-tenseurs ------------------------------------------------------------------------- 49 Introduction 1- Orientation d’un espace vectoriel de dimension finie sur R 1.1 - Déterminant d’une application linéaire u Algèbre et analyse tensorielles III 1.2 - Orientation de E 1.3 - Orientation de E* 2- Pseudo-tenseur 2.1 – Définition 2.2 Composantes d’un pseudo-tenseur 3 - Pseudo-tenseurs euclidiens 4 - Produit tensoriel de tenseurs et de pseudo-tenseurs 5 - Généralisation 6 - Produit vectoriel B - Analyse tensorielle ---------------------------------------------------------------------- 54 Introduction Chapitre 1 - Rappel sur les coordonnées ---------------------------------------------------------------- 55 1 - Définition de la base naturelle ou base locale 1.1 - Définition 1.2 - Exemple de base naturelle en coordonnées polaires et sphériques 1.2.1 - En coordonnées polaires 1.2.2 – En Coordonnées sphériques 2 - Carte locale. Coordonnées locales (ou coordonnées curvilignes) 2.1- Définition de la carte locale 2.2 - Coordonnées locales Chapitre 2 : Champs de tenseurs, Divergence, Laplacien et Rotationnel ------------------------- 60 Introduction 1 - Définition d’une application de classe Cm 2. - Champs de tenseurs et champs de Pseudo-tenseurs 2.1 Champ d’une grandeur physique 2.2 Détermination d’un champ de tenseurs 3- Opérations sur les champs de tenseurs 3.1 - Produit tensoriel des champs f et f’ : Algèbre et analyse tensorielles IV 3.2- Contraction d’un champ de tenseurs mixtes 3.3 - Dérivation covariante d’un champ de tenseur 4 - Base de E canoniquement associée à la carte et au point x 5– Définition de la Divergence d’un champ de tenseur 6– Calcul de 2 k l t x x    7– Définition du Laplacien d’un champ de tenseur 8 – Définition du Rotationnel d’un champ de tenseur 9 – Propriétés de la dérivée covariante d’un champ de tenseur 10- Dérivée covariante relative à une carte locale 11- Généralisation de la dérivée covariante pour 2  r 12- Symboles de Christoffel C - Quelques applications des tenseurs en Physique -------------------------------- 77 Introduction 1- Représentation des diverses grandeurs 2- Exemple de tenseurs d’ordre 0 : Les scalaires 3- Exemple de tenseurs d’ordre 2 : Le tenseur de déformation 3.1- Détermination du tenseur de déformation 3.2 - Sens physique des composantes de ij  3.2.1 – Sens physique des composantes diagonales 3.2.2 – Sens physique des composantes non diagonales 3.3 - Représentation géométrique des tenseurs symétriques de rang 2 3.4 - Intensité d'une propriété physique dans une direction donnée. 3.5 – Autres exemples de tenseurs d’ordre 2 4- Exemple de tenseurs d’ordre 4 : Le tenseur d’élasticité 4.1 – Le tenseur d’élasticité 4.2 – Symétrie cristalline et réduction du nombre de composantes indépendantes 4.2.1 – Le solide possède un plan de symétrie de coordonnée 0  z 4.2.2 – Le solide possède deux plan de symétrie de coordonnée x=0 et 0  z 4.2.3- Le solide possède des axes de symétrie Algèbre et analyse tensorielles V 4.3- Les ondes élastiques 4.3.1 - Types d’ondes élastiques . 4.3.1.1 - la nature du milieu 4.3.1.2 – la polarisation 4.3.2- Equations de mouvement 4.3.3- Onde plane progressive 4.3.4- Application à l’étude des séismes 4.4 - Autres exemples de tenseurs d’ordre 4 5 – Exemple de tenseurs d’ordre 3 : Le tenseur piézoélectrique 5.1 – Définition de la piézoélectricité 5.2 – Détermination du tenseur piézoélectrique 5.2.1- Effet Piézoélectrique direct 5.2.2- Effet Piézoélectrique inverse 5.3 – Symétrie cristalline et réduction du nombre de composantes piézoélectriques indépendantes 5.3.1- le solide possède un centre de symétrie 5.3.2 – Le solide possède un plan de symétrie de coordonnée 0  z 5.3.3 – Le solide possède un axe binaire direct parallèle à 3 X 5.4- propagation des ondes élastiques dans les solides piézoélectriques 6 - Autres exemples de tenseurs d’ordre 3 Annexes --------------------------------------------------------------------------------- a 1- Operateurs différentiels en coordonnées cartésiennes. 2- Operateurs différentiels en coordonnées cylindriques. 3- Operateurs différentiels en coordonnées sphériques. Références bibliographiques ---------------------------------------------------- i Algèbre et analyse tensorielles VI Introduction Générale Pour introduire les tenseurs et leur intérêt, la définition la plus simple qui nous parait est : si l’on change le référentiel dans lequel on travaille, toute propriété physique exprimée par un tenseur doit demeurer inchangée. Cette définition de tenseur comme une écriture ou une représentation indépendante du système de coordonnées, est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées. En mathématiques, la notion de tenseur est introduite d'une manière rigoureuse par l’algèbre linéaire et multilinéaire. Elle désigne une fonction multilinéaire. Dans le langage de l'algèbre linéaire, un système de coordonnées est une base et la loi de transformation est fournie par une matrice de changement de base. Donc, le calcul tensoriel a pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et allège énormément des calculs. Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler. Il s’avère très utile dans les mathématiques pures et dans beaucoup d’autres disciplines. En physique et en sciences de l'ingénieur, les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques dans de nombreux domaines comme l’électromagnétisme, la mécanique des fluides et la mécanique du solide. En particulier, le tenseur des efforts et le tenseur des déformations. Ils sont, aussi, largement utilisés dans la relativité restreinte générale, pour décrire rigoureusement l’espace-temps comme variété courbe quadridimensionnelle. L’objectif de ce manuel est de maitriser la notion de tenseurs, et plus particulièrement les bases de l’algèbre et de l’analyse tensorielles en donnant au lecteur les connaissances élémentaires de ce calcul. Nous avons introduit l’étude de ce calcul dans un cadre mathématique formel, à l’aide de définitions et de démonstrations, mais nous avons voulu montrer, que ce calcul tensoriel est aussi un outil très pratique pour l’écriture uploads/Marketing/ algebre-et-analyse-tensorielles-2.pdf